ex3.6.2

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.6.2

$ X \sim N(2,4^x ) $であるから、 $ \cfrac{X-2}{4} \sim Z $となる。($Z$は標準正規分布)

(i)
(a)

\begin{align}
P(X < 3) &= P\left(\frac{X-2}{4} < \frac{1}{4}\right)\lnl &=P(Z < 0.25)\lnl &= 0.598706 \end{align}

(b)

\begin{align}
P(X \ge 1) &= P\left(\frac{X-2}{4} \ge – \frac{1}{4}\right)\lnl
&= P(Z \ge -0.25)\lnl
&= P(Z \le 0.25)\lnl
&= 0.598706
\end{align}

(c)

\begin{align}
P(X \le 0) &= P\left(\frac{X-2}{4} \le -0.5 \right)\lnl
&=P(Z \le -0.5)\lnl
&=1- P(Z \le 0.5)\lnl
&= 0.308538
\end{align}

(d)

\begin{align}
P(2 < X \le 11.2) &= P\left(0 <\frac{X-2}{4} <\le 2.3\right) \lnl &=P(0 < Z \le 2.3)\lnl &= P(Z \le 2.3) - P( Z \le 0 )\lnl &=0.489276 \end{align}

(e)

\begin{align}
P(-20 < X \le 6.08) &= P\left(-1 <\frac{X-2}{4} \le 1.02\right) \lnl &=P(Z \le 1.02) - (1-P(Z < 1))\lnl &=0.687481 \end{align}

(ii)
(a)

\begin{align}
P(X \le a ) &= P\left( Z \le \frac{a-2}{4}\right) \lnl
&= 0.8770
\end{align}

よって、

\begin{align}
\frac{a-2}{4} = 1.16
\end{align}

すなわち、$a = 6.64$となる。

(b)

\begin{align}
P(X > a ) &= P\left( Z > \frac{a-2}{4}\right) \lnl
&= 1- P\left( Z \le \frac{a-2}{4} \right)
\end{align}

よって、
\begin{align}
P\left(Z \le \frac{a-2}{4} \right) &= 0.0084
\end{align}

よって、

\begin{align}
\frac{a-2}{4} = -2.39
\end{align}

すなわち、$a = -7.56$となる。

(c)

\begin{align}
P(X < a ) &= P\left( Z < \frac{a-2}{4}\right) \lnl &= 1 - P \left( Z < - \left(\frac{a-2}{4}\right)\right)\lnl &= 0.2810 \end{align}
よって、
\begin{align} -\frac{a-2}{4} &= 0.58 \end{align}
すなわち、$a = -0.32$となる。

(d)

\begin{align}
P ( |X -2| > a) &= P\left(|Z| > \frac{a}{4}\right)\lnl
&= 1 – 2 \left( P\left(Z \le \frac{a}{4}\right) – 0.5\right)\Lnl
\end{align}

よって、
\begin{align}
\frac{a}{4} &= 2.29
\end{align}

すなわち、$a = 9.16$となる。