ex1.3.8 箱からボールを取り出す条件付き確率

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.3.8

(i)
記号を次のように定義する。
$E$:取り出したボールが偶数、 $O$:取り出したボールが奇数
$R$:取り出したボールが赤、$B$:取り出したボールが黒、 $W$:取り出したボールが白
(a)

\begin{align} P(E) = 1/2 , P(W) = 2/10 , P(E\cap W) = \frac{1}{10}\end{align}

であるから、
\begin{align}P(W|E) = \frac{P(E\cap W)}{P(E)} = \frac{1}{5}\end{align}

(b)

\begin{align}P(E|W) = \frac{P(E\cap W)}{P(W)} = \frac{1}{2}\end{align}

(c)
\begin{align}P(W^c|E) = 1 – P(W|E) = \frac{4}{5}\end{align}

(d)
$N_4$:取り出したボールの番号が4とする。
$P(N_4) = 1/10$ , $P(R\cup E) = 7/10$であるから、
\begin{align}P(N_4|R\cup E) = \frac{P(N_4 \cap (R \cup E))}{P(R\cup E)} = \frac{1}{7}\end{align}

(e)
$N_{\ge 5}$:取り出したボールの番号が5以上とする。
$P(N_{\ge 5} \cup W) = P(N_{\ge 5}) = 6/10$であるから、
\begin{align}P(N_{\ge 5} \cup W | E) = \frac{P(E \cap N_{\ge 5})}{P(E)} = \frac{3}{5}\end{align}

(ii)
記号を次のように定義する。
$R^2$ : 取り出したボールがどちらも赤
$OE$:取り出したボールがひとつは奇数で、ひとつは偶数
$E^2$:取り出したボールがどちらも偶数
$O^2$:取り出したボールがどちらも奇数
(a)

\begin{align}P(R^2) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{15}\end{align}

(b)
\begin{align}P(OE|R^2) = \frac{P(OE\cap R^2)}{P(R^2)}=\frac{2}{3} \end{align}

$\because OE\cap R^2$ : 取り出したボールの番号が$\{1,2\} , \{1,4\} , \{2,3\} , \{3,4\}$いずれかの場合
\begin{align}\Rightarrow P(OE\cap R^2) = \frac{4}{_{10}C_2} = \frac{4}{45}\end{align}

(c)

\begin{align}P(O^2 \cup E^2 | R^2) = \frac{P( (O^2\cup E^2) \cap R^2)}{P(R^2)} = \frac{1}{3}\end{align}

$\because (O^2 \cup E^2)\cap R^2$ : 取り出したボールの番号が$\{1,3\} , \{2,4\}$ いずれかの場合
\begin{align}$\Rightarrow P( (O^2 \cup E^2)\cap R^2) = \frac{2}{_{10}C_2} = \frac{2}{45}\end{align}