ex5.A.3 ワイブル分布が指数型分布族に属することの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex5.A.3

題意より$\alpha$は未知で$\beta$が既知である.確率密度関数は

\begin{align}
f(x;\alpha) &= \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^\beta} \lnl
&=\beta x^{\beta-1}\exp\left( -\alpha\cdot x^\beta + \log \alpha \right)
\end{align}

となる.ここで
\begin{align}
h(x) = \beta x^{\beta-1}, \qquad c(\alpha)=-\alpha ,\qquad T(x)=x^\beta ,\qquad d(\alpha)=\log \alpha
\end{align}

とおけば$f(x;\alpha)=h(x)\exp\big(c(\alpha)T(x)+d(\alpha)\big) $とできるので, ワイブル分布は1パラメータの指数型分布族となる.