ex7.A.5 正規分布の分散に関する両側検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.A.5

学校Aの真の分散を${\sigma_A}^2$, 学校Bのそれを${\sigma_B}^2$とする.
帰無仮説$H_0: {\sigma_A}^2 = {\sigma_B}^2 $ , 対立仮説$H_1: {\sigma_A}^2 \neq {\sigma_B}^2$とする検定を行う.

学校Aの標本を$x_i$, 標本平均を$\overline{x}= 61$, 標本不偏分散を${U_A}^2=3200/49$とする.同様に学校Bのそれらを$y_i, \overline{y},{U_B}^2 = 1512/49$とする.

テキスト(7.4.5)(ii)(c)より,

\begin{align}
F = \frac{{U_A}^2}{{U_B}^2} = \frac{3200/49}{1512/49} \fallingdotseq 2.116
\end{align}

としたとき,
\begin{align}
F > F_{49,49,\frac{\alpha}{2}} \text{または} F < F_{49,49,1-\frac{\alpha}{2}} \end{align}
のとき帰無仮説$H_0$は棄却となる.ただし, $\alpha$は検定水準である. 後者の条件については,
\begin{align} F_{49,49,1-\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{F_{49,49,\frac{\alpha}{2}}} < 1 \end{align}
であることを考えると, 達成する$\alpha$は存在しないことがわかるので前者の条件だけを考えればよい. 統計表より
\begin{align} F_{49,49,0.01} < F_{40,40,0.01} = 2.114 \end{align}
であることから, 有意確率$p$は,
\begin{align} p < 2\cdot 0.01 = 0.02 \end{align}
となる.