ex3.12.4

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.12.4

$X$,$Y$の同時確率分布と条件付き確率分布間には、以下の関係がある。(テキストp52)

\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)\cdot f_{Y|X}(y|x) \tag{A}
\end{align}

$X$は与えられた式から$N(\mu_X,\sigma_X^2)$の正規分布に従うから、
\begin{align}
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_X}\exp\left(-\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2}\right)\tag{B}
\end{align}

となる。
$X=x$を与えられたときの$Y$の条件付き確率分布は、以下のように$Z_2$の線形変換とみなせる。
\begin{align}
x &= \sigma_X z_1 + \mu_X \Leftrightarrow z_1 = \frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\Lnl
\Rightarrow (Y|X=x) &= \sigma_Y[\rho z_1 + (1-\rho^2)^{\frac{1}{2}} z_2] + \mu_y\lnl
&= \sigma_Y\left\{\rho \frac{x-\mu_X}{\sigma_X} + (1-\rho^2)^{\frac{1}{2}} z_2\right\} + \mu_y
\end{align}

従って、$(Y|X=x)$は正規分布に従う。その平均$\mu_{Y’}$と分散$\sigma_{Y’}^2$は、
\begin{align}
\mu_{Y’} &= E(Y|X=x) \lnl
&= E\left[\sigma_Y\left\{\rho \frac{x-\mu_X}{\sigma_X} + (1-\rho^2)^{\frac{1}{2}} z_2\right\} + \mu_y \right]\lnl
&= \rho\left(\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)(x-\mu_X) + \mu_Y\Lnl
\sigma_{Y’}^2 &= V(Y|X=x)\lnl
&= V\left[\sigma_Y\left\{\rho \frac{x-\mu_X}{\sigma_X} + (1-\rho^2)^{\frac{1}{2}} z_2\right\} + \mu_y \right]\lnl
&= \sigma_Y^2(1-\rho^2)
\end{align}

これより、
\begin{align}
&f_{Y|X}(y|x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_Y(1-\rho^2)^{\frac{1}{2}}} \exp\left(- \frac{\left\{y-\rho\left(\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)(x-\mu_X)-\mu_Y\right\}^2}{2\sigma_Y^2(1-\rho^2)}\right)\tag{C}
\end{align}

(A)に(B)(C)を代入して、

\begin{align}
&f_{X,Y}(x,y) \\
&\quad= \frac{1}{2\pi\sigma_X \sigma_Y(1-\rho^2)^\frac{1}{2}}\\
&\qquad \times \exp \underset{(a)}{\underline{ \left( -\frac{(x-\mu_X)^2}{2\sigma_X^2} – \frac{\left\{y-\rho\left(\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)(x-\mu_X)-\mu_Y\right\}^2}{2\sigma_Y^2(1-\rho^2)} \right)}}
\end{align}

下線部(a)は、

\begin{align}
\text{(a)} &= -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\\
&\quad\times \underset{(b)}{\underline{\left\{ \frac{(x-\mu_X)^2(1-\rho^2)}{\sigma_X^2} + \underset{(c)}{\underline{ \frac{\left\{y-\rho\left(\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)(x-\mu_X)-\mu_Y\right\}^2}{\sigma_Y^2} }} \right\}}}
\end{align}

となる。下線部(c)を整理すると、

\begin{align}
\text{(c)} &= \frac{\{ (y-\mu_Y) – \rho\left(\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)(x-\mu_X) \}^2}{\sigma_Y^2}\\
&=\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} -2\rho \frac{(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y} + \frac{\rho^2(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}
\end{align}

となるので、下線部(b)は、
\begin{align}
\text{(b)} &= \frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2} -2\rho \frac{(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y} +\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}
\end{align}

となる。これは(3.12.1)で定義された$Q(x,y)$に一致する。
結局、
\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X \sigma_Y(1-\rho^2)^\frac{1}{2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)} Q(x,y)\right)
\end{align}

となり、二変量正規分布の結合密度関数と一致するので証明された。