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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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期待値の定義どおり計算してみると、

\begin{align}
E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} x \frac{1}{\pi (1+x^2)} \delt x\lnl
&= \left[ \frac{1}{2\pi } \log (1 + x^2) \right]_{-\infty}^{\infty}
\end{align}

ここで

\begin{align}
\lim_{x\to \infty} \log(1+x^2) &= \infty\\
\lim_{x\to -\infty} \log(1+x^2) &= \infty
\end{align}

であるので、$E(X)$は不定となり存在しない。