はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.1.9
独立で同一のベルヌーイ分布に従う確率変数の和は二項分布となるので、$(n\bar{X}) \sim B(n,p)$である。
従って、
\begin{align}
P(n\bar{X} = k) &= \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}\\
&(k = 0,1,\cdots,n)\\
\Rightarrow P\left(\bar{X} = \frac{k}{n}\right) &= \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \\
&(k = 0,1,\cdots,n)\\
\end{align}
P(n\bar{X} = k) &= \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}\\
&(k = 0,1,\cdots,n)\\
\Rightarrow P\left(\bar{X} = \frac{k}{n}\right) &= \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \\
&(k = 0,1,\cdots,n)\\
\end{align}
となる分布である。
期待値は線形性を用いて求める。
\begin{align}
E(\bar{X}) &= E\left(\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}\right) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)\\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p\\
&= \frac{1}{n} np\\
&= p
\end{align}
E(\bar{X}) &= E\left(\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}\right) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)\\
&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p\\
&= \frac{1}{n} np\\
&= p
\end{align}
分散も同様に、
\begin{align}
V(\bar{X}) &= V\left(\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}\right) \\
&=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n V(X_i)\\
&= \frac{1}{n^2} np(1-p) \\
&= \frac{p(1-p)}{n}
\end{align}
V(\bar{X}) &= V\left(\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}\right) \\
&=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n V(X_i)\\
&= \frac{1}{n^2} np(1-p) \\
&= \frac{p(1-p)}{n}
\end{align}