ex3.1.12 ベルヌーイ分布の条件付き確率

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.1.12

$ S = X_2 + X_3 + \cdots + X_n $とおくと、$ S \sim B(n-1 , p) $となる。
$ X_1 + S = k $が与えられたときの$ X_1 $の分布は条件付き確率を用いて、

\begin{align}
P(X_1 = x | X_1 + S = k)
\end{align}

と表せる。$ X_1 $は$0$か$1$しか取り得ないからそれぞれ具体的に計算すると、

\begin{align}
&P(X_1 = 0 | X_1 + S = k) \\
&\qquad= \frac{P(X_1=0 , X_1+S= k)}{P(X_1+S=k)}\\
&\qquad= \frac{P(X_1=0 , S= k)}{P(X_1+S=k)}\\
&\qquad= \frac{(1-p)\cdot \binom{n-1}{k}p^k(1-p)^{n-1-k}}{\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}}\\
&\qquad= \frac{n-k}{n} \\
&P(X_1 = 1 | X_1 + S = k) \\
&\qquad= \frac{P(X_1=1 , X_1+S= k)}{P(X_1+S=k)}\\
&\qquad= \frac{P(X_1=1 , S= k – 1)}{P(X_1+S=k)}\\
&\qquad= \frac{p\cdot \binom{n-1}{k- 1}p^{k- 1}(1-p)^{n-k}}{\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}}\\
&\qquad= \frac{k}{n}
\end{align}

これは、パラメータ$\cfrac{k}{n}$のベルヌーイ分布であることを表している。