ex6.5.5 一様分布の上限パラメータの信頼区間

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.5

(ex6.1.6)の問題文にある通り, $X_{(n)}$の確率密度関数は$0 < x < \theta$で$\cfrac{nx^{n-1}}{\theta^n}$である.従って,

\begin{align} P\left(\frac{X_{(n)}}{(1-\alpha_1)^\frac{1}{n}} \le \theta \le \frac{X_{(n)}}{{\alpha_2}^\frac{1}{n}} \right) &= P\left( \theta {\alpha_2}^\frac{1}{n} \le X_{(n)} \le \theta (1-\alpha_1)^\frac{1}{n} \right)\lnl &= \int_{\theta {\alpha_2}^\frac{1}{n}}^{\theta(1-\alpha_1)^\frac{1}{n} } \frac{nx^{n-1}}{\theta^n} \delt x\lnl &= \left[\frac{x^n}{\theta^n} \right]_{\theta {\alpha_2}^\frac{1}{n}}^{\theta(1-\alpha_1)^\frac{1}{n} }\lnl &= 1-\alpha_1 - \alpha_2 \end{align}
となるので, 与えられた区間が$\theta$の$100(1-\alpha_1 - \alpha_2)$%信頼区間であることが示された. 次に, $\alpha , (0 < \alpha < 1)$を固定し, $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$とする.信頼区間の長さ$L$は
\begin{align} L &= \frac{X_{(n)}}{{\alpha_2}^\frac{1}{n}} - \frac{X_{(n)}}{(1-\alpha_1)^\frac{1}{n}} \lnl &= \frac{X_{(n)}}{{(\alpha-\alpha_1)}^\frac{1}{n}} - \frac{X_{(n)}}{(1-\alpha_1)^\frac{1}{n}} \end{align}
で表されるので,これを最小化する$\alpha_1, \alpha_2$を求めればよい.
\begin{align} \frac{\partial}{\partial \alpha_1}L &= \frac{X_{(n)}}{n}\left\{ (\alpha -\alpha_1)^{\frac{1-n}{n}} - (1 -\alpha_1)^{\frac{1-n}{n}} \right\} > 0
\end{align}

不等号は , $\alpha < 1$および$\cfrac{1-n}{n} < 0$による. $0 \le \alpha_1 \le 1$なので$\alpha_1 = 0$のとき$L$は最小となる.このとき, $\alpha_2 = \alpha$であるから示された.