はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.7.4
$ X $と$ X^2 $の共分散が$0$であることを示す。
\begin{align}
\mathrm{Cov}\left(X , X^2\right) &= E[X\cdot X^2] – E(X)E\left(X^2\right)\\
&= E\left(X^3 \right) – E(X) E\left(X^2\right)
\end{align}
\mathrm{Cov}\left(X , X^2\right) &= E[X\cdot X^2] – E(X)E\left(X^2\right)\\
&= E\left(X^3 \right) – E(X) E\left(X^2\right)
\end{align}
ここで、(ex2.5.9)より$ X $も$ X^3 $も$0$で対称であることから期待値は$0$となる。
従って、$ \mathrm{Cov}(X,X^2) = 0 $となる。