ex4.6.8 中心極限定理を使った必要な精度を満たす標本数の計算

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.6.8

$n$を合格者数とする. $k$を入学者とすると, $n-k$が辞退者数となる.入学者数を表す確率変数を$X$とすると, $X $は$\mathrm{B}(n,0.8)$の二項分布に従う.

従ってその期待値と分散は

\begin{align}
E(X) = 0.8n , \qquad V(X) = (0.8)(0.2)n
\end{align}

となる.

$X$は$\mathrm{N}\big(0.8n,(0.8)(0.2)n\big)$で近似できるから,

\begin{align}
P(X \le 140) &= P\left(Z\le \frac{140-0.8n}{\sqrt{(0.8)(0.2)n}}\right)= 0.95
\end{align}

標準正規分布表より,$z_{0.95}=1.65$なので,
\begin{align}
&1.65 = \frac{140-0.8n}{\sqrt{(0.8)(0.2)n}} = \frac{350-2n}{\sqrt{n}}\lnl
\Leftrightarrow & 2n +1.65\sqrt{n} – 350 = 0
\end{align}

となる.これを$\sqrt{n}$の二次方程式と考え解くと,
\begin{align}
\sqrt{n} = \frac{-1.65 \pm \sqrt{(1.65)^2 + 4\cdot 2 \cdot 350}}{4}
\end{align}

$\sqrt{n} \ge 0$に注意して,
\begin{align}
n \fallingdotseq 164.42
\end{align}

となるから,$165$人合格者を出せばよい.