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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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区間$ I_1 = \{x ; x \ge a\} $、$ 0 < t < c $とする。

\begin{align} m_X(t) &= \int_{\infty}^{\infty} e^{tx} f(x)\delt x\\ &\ge \int_{I_1} e^{tx} f(x)\delt x \\ &\ge \int_{I_1} e^{at} f(x)\delt x & (\because \forall x\in I_1 , e^{at} \le e^{tx})\\ &= e^{at} P(X \ge a) \end{align}
両辺を$ e^{at} $で割って、
\begin{align} P(X \ge a) \le e^{-at}m_X(t) \end{align}
同様に、区間$ I_2 = \{x ; x \le a\} $、$ -c < t < 0 $とする。
\begin{align} m_X(t) &= \int_{\infty}^{\infty} e^{tx} f(x)\delt x\\ &\ge \int_{I_2} e^{tx} f(x)\delt x \\ &\ge \int_{I_2} e^{at} f(x)\delt x & (\because \forall x\in I_2 , e^{at} \le e^{tx})\\ &= e^{at} P(X \le a) \end{align}
両辺を$ e^{at} $で割って、
\begin{align} P(X \le a) \le e^{-at}m_X(t) \end{align}
よって示された。