ex6.3.6 一様分布の上限・下限と平均・分散の最尤推定量(MLE)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.3.6

関数$\varphi(x)$を

\begin{align}
\varphi(x) = \begin{cases}1 & x \ge 0 \\ 0 & x < 0\end{cases} \end{align}
で定義したとき,下限$\alpha$, 上限$\beta$の一様分布の確率密度関数は
\begin{align} f(x;\alpha,\beta) = \frac{1}{\beta - \alpha} \varphi(\beta - x)\varphi(x-\alpha) \end{align}
となる.尤度関数は
\begin{align} L(\alpha,\beta;\bm{x}) = \frac{1}{(\beta - \alpha)^n} \prod_{i=1}^n \varphi(\beta - x_i)\cdot \prod_{i=1}^n\varphi(x_i-\alpha) \end{align}
となる.ここで
\begin{align} &\prod_{i=1}^n \varphi(\beta - x_i) = \varphi(\beta - \max_i \{x_i\}) = \varphi(\beta - x_{(n)}) \lnl &\prod_{i=1}^n\varphi(x_i-\alpha) = \varphi(\min_i \{x_i\} - \alpha) = \varphi(x_{(1)} - \alpha) \end{align}
であるから,
\begin{align} L(\alpha,\beta;\bm{x}) = \frac{1}{(\beta - \alpha)^n} \varphi(\beta - x_{(n)}) \varphi(x_{(1)} - \alpha) \end{align}
となる.これを最大化する$\alpha,\beta$を求める.両方の$\varphi(\cdot)$が$1$となる条件のもと,$\beta - \alpha$を最小化するものを求めればよい.つまり
\begin{align} \begin{cases}\beta - x_{(n)} \ge 0\\x_{(1)} - \alpha \ge 0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}\beta \ge x_{(n)}\\x_{(1)} \ge \alpha\end{cases} \end{align}
であるので,$\beta-\alpha$を最小化するものは
\begin{align} \begin{cases}\hat{\beta} = x_{(n)} \\\hat{\alpha} = x_{(1)} \end{cases} \end{align}
である. 母集団分布の平均と分散をそれぞれ$\mu,\sigma^2$とすると,
\begin{align} \mu = \frac{\alpha + \beta}{2} , \quad \sigma^2 = \frac{(\beta-\alpha)^2}{12} \end{align}
である.テキスト(6.3.3)のNOTE(3)より,$\mu,\sigma^2$の最尤推定量$\hat{\mu} , \hat{\sigma}^2$ は,
\begin{align} \hat{\mu} = \frac{X_{(1)} + X_{(n)}}{2} \lnl \hat{\sigma}^2 = \frac{\big(X_{(n)} - X_{(1)}\big)^2}{12} \end{align}
となる.