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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.3.8

(i)
$T$の周辺確率密度関数は、

\begin{align}
f_T(t) &= \begin{cases}\cfrac{1}{5} &(0 < t \le 5)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
$T=t$が与えられているときの$Y$の条件付き確率分布は、
\begin{align} f_{Y|T}(y|t) &= \begin{cases}\cfrac{1}{5-t} &(t < y \le 5)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
である。 従って、$0 < t < y \le 5$のとき、$f_T(t) \neq 0$だから、
\begin{align} f_{T,Y}(t,y) &= \frac{f_{T,Y}(t,y)}{f_T(t)}\cdot f_T(t)\lnl &= f_{Y|T}(y|t)\cdot f_T(t)\lnl &= \cfrac{1}{5(5-t)} \end{align}
従って、
\begin{align} f_{T,Y}(t,y) &=\begin{cases}\cfrac{1}{5(5-t)}&(0 < t < y \le 5)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
(ii) $0< y \le 5$のとき、
\begin{align} f_Y(y) &= \int_0^y \frac{1}{5(5-t)} \delt t\lnl &= \frac{1}{5}\Bigl[ -\log (5-t)\Bigr]_0^y\lnl &= \frac{1}{5}\Bigl(\log 5 - \log (5-y)\Bigr) \end{align}
その他のとき、
\begin{align} f_Y(y) = 0 \end{align}