ex4.5.5 標本分布関数が母集団分布関数に確率収束することの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.5.5

テキスト(4.1.4)より,

\begin{align}
\begin{cases}
E\left(\hat{F}_n(x)\right)= F(x)\\
V\left(\hat{F}_n(x)\right)= \cfrac{F(x)\big[1-F(x)\big]}{n}
\end{cases}
\end{align}

である.従って,
\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle \lim_{n\to \infty} E\left(\hat{F}_n(x)\right)= F(x)\\
\displaystyle \lim_{n\to \infty} V\left(\hat{F}_n(x)\right)= 0
\end{cases}
\end{align}

となるので, (ex4.5.3)の結果より $\hat{F}_n(x)$は$F(x)$に平均二乗収束する.