はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.1.6
\begin{align}
E(T(\bm{X})) &= \frac{n+1}{n} \int_0^\theta x\cdot \frac{nx^{n-1}}{\theta^n} \mathrm{d}x\\
&= \frac{n+1}{n} \left[ \frac{n}{\theta^n} \frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^\theta\\
&= \theta
\end{align}
E(T(\bm{X})) &= \frac{n+1}{n} \int_0^\theta x\cdot \frac{nx^{n-1}}{\theta^n} \mathrm{d}x\\
&= \frac{n+1}{n} \left[ \frac{n}{\theta^n} \frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^\theta\\
&= \theta
\end{align}
よって$T(\bm{X})$は$\theta$の不偏推定量である。
\begin{align}
\textrm{MSE}(T(\bm{X}),\theta) &= E(T(\bm{X})^2) – 2\theta E(T(\bm{X})) + \theta^2
\end{align}
\textrm{MSE}(T(\bm{X}),\theta) &= E(T(\bm{X})^2) – 2\theta E(T(\bm{X})) + \theta^2
\end{align}
ここで、
\begin{align}
E(T(\bm{X})^2) &= \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \int_0^\theta x^2 \cdot \frac{nx^{n-1}}{\theta^n} \mathrm{d}x\\
&= \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \left[ \frac{n}{\theta^n} \frac{x^{n+2}}{n+2}\right]_0^\theta \\
&= \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\theta^2
\end{align}
E(T(\bm{X})^2) &= \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \int_0^\theta x^2 \cdot \frac{nx^{n-1}}{\theta^n} \mathrm{d}x\\
&= \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \left[ \frac{n}{\theta^n} \frac{x^{n+2}}{n+2}\right]_0^\theta \\
&= \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\theta^2
\end{align}
であるから、
\begin{align}
\textrm{MSE}(T(\bm{X}),\theta) &= \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\theta^2 – \theta^2 = \frac{\theta^2}{n(n+2)}
\end{align}
\textrm{MSE}(T(\bm{X}),\theta) &= \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\theta^2 – \theta^2 = \frac{\theta^2}{n(n+2)}
\end{align}
以上より題意は示された。