ex6.2.11 指数分布のP(X≦a)の不偏推定量とUMVUE

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.2.11

問題に誤植があります

問題文で与えられている$T(\bm{X})$には誤植があります.

\begin{align}
\tag{誤} T(\bm{X}) = \begin{cases}\displaystyle 1-\left(1-\frac{a}{\displaystyle \ssum_{i=1}^n X_i}\right)&\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i \ge a\lnl
\color{red}{0}&\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i < a\end{cases}\Lnl \tag{正} T(\bm{X}) = \begin{cases}\displaystyle 1-\left(1-\frac{a}{\displaystyle \ssum_{i=1}^n X_i}\right)&\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i \ge a\lnl \color{red}{1}&\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i < a\end{cases} \end{align}
こうしないと後で求める値に一致しません.

解答

定義通りに期待値を計算する.パラメータ$\beta$の指数分布の確率密度関数を$f(x;\beta)$とすると,

\begin{align}
E\big(I_{x\le a}(X_1)\big) &= \int_0^a 1\cdot f(x;\beta)\delt x + \int_a^\infty 0\cdot f(x;\beta) \delt x\lnl
&= \int_0^a f(x;\beta)\delt x\lnl
&= P(X \le a)\lnl
&= 1-e^{-\beta a}
\end{align}

となり示された.

ランダム標本の結合密度関数は

\begin{align}
f(\bm{x};\beta) = \prod_{i=1}^n \beta\exp(-\beta x_i) = \exp\left(-\beta\sum_{i=1}^n x_i + n\log \beta\right)
\end{align}

となるので,1パラメータの指数分布族である.$S(\bm{X})) = \displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$とする.レーマン・シェフェの定理より$E\Big[I_{x\le a}(X_1)| S(\bm{X})\Big]$がUMVUEとなる.
\begin{align}
E\Big[I_{x\le a}(X_1)| S(\bm{X})=s\Big] &= P(X_1 \le a | S(\bm{X})=s)\lnl
&=P\left(\frac{X_1}{S} \le \frac{a}{S} \middle| S=s\right)
\end{align}

ここでテキスト(3.8.3)より$\cfrac{X_1}{S}$と$S$は独立であり,$\cfrac{X_1}{S}$はパラメータ$1,n-1$のベータ分布に従う.該当のベータ分布の確率密度関数を$f_B(x)$とすると,
\begin{align}
f_B(x) &= \begin{cases} \cfrac{1}{B(1,n-1)}x^0 (1-x)^{n-2} & 0 < x < 1\lnl 0 & \text{その他}\end{cases}\lnl &= \begin{cases} (n-1) (1-x)^{n-2} & 0 < x < 1\lnl 0 & \text{その他}\end{cases} \end{align}
であり,
\begin{align} E\Big[I_{x\le a}(X_1)| S(\bm{X})=s\Big] &=\int_0^\frac{a}{s} f_B(x)\delt x \end{align}
となる. $\cfrac{a}{s} \le 1$のとき,つまり$s \ge a$のとき,
\begin{align} E\Big[I_{x\le a}(X_1)| S(\bm{X})=s\Big] &=\int_0^\frac{a}{s} f_B(x)\delt x \lnl &= \int_0^\frac{a}{s} (n-1) (1-x)^{n-2} \delt x\lnl &= \left[ (n-1)\frac{(1-x)^{n-1}}{1-n} \right]_0^{\frac{a}{s}}\lnl &= 1 - \left(1-\cfrac{a}{s}\right)^{n-1} \end{align}
$\cfrac{a}{s} > 1$のとき,つまり$s < a$のとき,
\begin{align} E\Big[I_{x\le a}(X_1)| S(\bm{X})=s\Big] &=\int_0^\frac{a}{s} f_B(x)\delt x \lnl &= \int_0^1 f_B(x) \delt x\lnl &= 1 \end{align}
$T(\bm{X}) =E\Big[I_{x\le a}(X_1)| S(\bm{X})=s\Big]$としてまとめて記載すると,
\begin{align} T(\bm{X}) = \begin{cases}\displaystyle 1-\left(1-\frac{a}{S(\bm{X})}\right)^{n-1} & S(\bm{X}) \ge a\lnl \quad 1 & S(\bm{X}) < a\end{cases} \end{align}
となり,示された.

後半部分の別解

ランダム標本の結合密度関数は

\begin{align}
f(\bm{x};\beta) = \prod_{i=1}^n \beta\exp(-\beta x_i) = \exp\left(-\beta\sum_{i=1}^n x_i + n\log \beta\right)
\end{align}

となるので,1パラメータの指数分布族である.レーマン・シェフェの定理より$S(\bm{X}) = \displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$の関数の不偏推定量がUMVUEとなる.

パラメータ$\beta$の指数分布はパラメータ$1,\beta$のガンマ分布である.ガンマ分布の再生性より,$S(\bm{X}) \sim \mathrm{Ga}(n,\beta)$となる.
これを用いて$T(\bm{X})$の期待値を計算する.
$S(\bm{X})$の確率密度関数を$f_S$とすると,

\begin{align}
E\big(T(\bm{X})\big) &= \int_a^\infty \left(1-\left(1-\frac{a}{s}\right)^{n-1}\right)\cdot f_S(s) \delt s + \int_0^a 1\cdot f_S(s) \delt s\lnl
&= \int_0^\infty f_S(s) – \int_a^\infty \left(1-\frac{a}{s}\right)^{n-1}\cdot \frac{\beta^n}{\Gamma(n)}s^{n-1}e^{-\beta s} \delt s \lnl
&= 1 – \int_a^\infty \frac{\beta^n}{\Gamma(n)}(s-a)^{n-1}e^{-\beta s} \delt s \lnl
&(u=s-a\text{とおくと})\lnl
&= 1- e^{-\beta a}\int_0^\infty \frac{\beta^n}{\Gamma(n)}u^{n-1}e^{-\beta u} \delt u\lnl
&= 1- e^{-\beta a} = P (X_1 \le a)
\end{align}

よって$T(\bm{X})$が$P (X_1 \le a)$のUMVUEとなる.