はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.1.5
検出力関数は,
\begin{align}
\beta(\theta) &= P(X_{(n)} < 0.8)\lnl &= P(X_1 < 0.8 , X_2 < 0.8 ,\cdots , X_n < 0.8)\lnl &= P(X_1 < 0.8)P(X_2 < 0.8)\cdots P(X_n < 0.8)\lnl &= \left(\frac{0.8}{\theta}\right)^n \end{align}
検定の大きさは,
\beta(\theta) &= P(X_{(n)} < 0.8)\lnl &= P(X_1 < 0.8 , X_2 < 0.8 ,\cdots , X_n < 0.8)\lnl &= P(X_1 < 0.8)P(X_2 < 0.8)\cdots P(X_n < 0.8)\lnl &= \left(\frac{0.8}{\theta}\right)^n \end{align}
\begin{align}
\sup_{H_0} P(X_{(n)} < 0.8) &= \sup_{\theta \ge 1}\left(\frac{0.8}{\theta}\right)^n\lnl
&= (0.8)^n
\end{align}
となる.