はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.4.1
検定
テキスト(7.4.2)(ii)より,
\begin{align}
T = \left| \frac{\overline{X}-\mu_0}{U/\sqrt{n}}\right|> t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
T = \left| \frac{\overline{X}-\mu_0}{U/\sqrt{n}}\right|> t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}
\end{align}
であれば,帰無仮説$H_0 : \mu = \mu_0$を棄却する.与えられた数値から$T$を計算すると,
\begin{align}
T = \left| \frac{8.9-10}{\sqrt{\frac{352}{25-1}}/\sqrt{25}}\right| \fallingdotseq 1.436
\end{align}
T = \left| \frac{8.9-10}{\sqrt{\frac{352}{25-1}}/\sqrt{25}}\right| \fallingdotseq 1.436
\end{align}
また, $t_{25-1,\frac{0.05}{2}} = 2.064$だから,
\begin{align}
T < t_{25-1,\frac{0.05}{2}} \end{align}
となり帰無仮説$H_0$は棄却できない.
T < t_{25-1,\frac{0.05}{2}} \end{align}
有意確率
有意確率は,
\begin{align}
P(t_{25-1} < T) \end{align}
である.統計表より
P(t_{25-1} < T) \end{align}
\begin{align}
t_{25-1,0.1}=1.318,\quad t_{25-1,0.05}=1.711
\end{align}
であるので,
\begin{align}
t_{25-1,0.1}=1.318 < T < t_{25-1,0.05}=1.711
\end{align}
である.従って, $p$を有意確率とすると
\begin{align}
2 \times 0.05 < p < 2 \times 0.1 \Longleftrightarrow 0.1 < p < 0.2
\end{align}
となる.
信頼区間
また$95$%信頼区間は,
\begin{align}
&\left|\frac{8.9 – \mu}{\sqrt{\frac{352}{25-1}}/\sqrt{25}}\right| < t_{25-1,\frac{0.05}{2}}= 2.064\lnl \Leftrightarrow & |8.9 - \mu| < 1.58\lnl \Leftrightarrow & 7.32 < \mu < 10.48 \end{align}
である.
&\left|\frac{8.9 – \mu}{\sqrt{\frac{352}{25-1}}/\sqrt{25}}\right| < t_{25-1,\frac{0.05}{2}}= 2.064\lnl \Leftrightarrow & |8.9 - \mu| < 1.58\lnl \Leftrightarrow & 7.32 < \mu < 10.48 \end{align}