ex3.1.11 二項分布のモード

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.1.11

ex3.1.10の結果を用いると、$ k \ge 1 $となる整数$k$ に対して、

\begin{align}
f_Y(k)- f_Y(k -1) &= \left(\frac{n-k+1}{k}\frac{p}{1-p} – 1\right) f_Y(k – 1)\\
&=\frac{np+p-k}{k(1-p)} f_Y(k – 1)
\end{align}

ここで、$ f_Y( k -1 ) $および分母は正であるから、

\begin{align}
&f_Y(k) \ge f_Y (k – 1) \\
&\Leftrightarrow np+p – k \ge 0\\
&\Leftrightarrow k \le p(n+1)
\end{align}

(a)$p(n+1)$が整数であるので、以下の不等式が成り立つ。

\begin{align}
f_Y(0) < f_Y(1) &< \cdots <\\ & f_Y(p(n+1) - 1) = f_Y(p(n+1) ) \\ &\qquad\qquad> f_Y(p(n+1) + 1) > \cdots > f_Y(n)
\end{align}

(b) $p(n+1)$を超えない最大の整数を$z$とすると、

\begin{align}
z – 1 < z < p(n+1) < z+1 \end{align}
であるので、以下の不等式が成り立つ。
\begin{align} f_Y(0) < f_Y(1) < \cdots < &f_Y(z - 1) <\\ &\quad f_Y(z) \\ &\qquad > f_Y(z + 1) > \cdots > f_Y(n)
\end{align}

よって示された。