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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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$ Y_i (i=1,2,\cdots 100) $を、サイコロを$1$回投げて5が出れば$1$ ,そうでない場合は $0$をとる確率変数とする。また各$ Y_i $は独立とする。

\begin{align}
E(Y_1 ) &= E(Y_2 ) = \cdots = E(Y_i ) = \cdots = E(Y_{100}) = \frac{1}{6}\Lnl
V(Y_1 ) &= V(Y_2 ) = \cdots = V(Y_i ) = \cdots = V(Y_{100}) \lnl
&= (1-E(Y_i))^2P(Y_i=1)+(0-E(Y_i))^2P(Y_i = 0) \lnl
&= \frac{5}{36}
\end{align}

となる。
$ X = Y_1 + Y_2 + \cdots Y_{100} $であるので、

\begin{align}
E( X) &= E( Y_1 + Y_2 + \cdots Y_{100} ) \lnl
&= 100 \times E(Y _i) \lnl
&= 100 \times \frac{1}{6}\lnl
&= \frac{50}{3}\Lnl
V(X) &= V( Y_1 + Y_2 + \cdots Y_{100} ) \lnl
&= 100 \times V(Y _i) \lnl
&= 100 \times \frac{5}{36}\lnl
&= \frac{250}{18}\Lnl
E(X^2) &= V(X) + E(X)^2 \lnl
&=\frac{875}{3}
\end{align}