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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.2.4

(a)
$ f(x)$の総和は明らかに$1$である。
いかなる$x$に対しても$f(x) \ge 0$であるため、

\begin{align}
\begin{cases} p \ge 0 \\
1-p \ge 0 \end{cases}\\
\Rightarrow 0 \le p \le 1
\end{align}

(b)
$ f(x)$の総和は

\begin{align}
\sum_{x} f(x) &= f(0) + f(-1) + f(3) + f(4)\\
&= 3p + \frac{p}{2} + \frac{1}{4} + 8p-\frac{3}{4} + \frac{5}{16} – 2p\\
&= \frac{19}{2} p- \frac{3}{16}
\end{align}

総和は$1$だから、

\begin{align}
\frac{19}{2} p -\frac{3}{16} = 1\\
\Rightarrow p = \frac{1}{8}
\end{align}