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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.2.8

$ T_i$を$ i$回目の測定値を表し、$T$と同じ確率分布に従う確率変数とする。

\begin{align}
P(T_i \ge 0.5) &= 1- F_T(0.5)\lnl
&= 1 – \int_0^{0.5} 6t(1-t)\delt t \lnl
&= \frac{1}{2}
\end{align}

よって、
(1)2回独立に測定したときに、2回とも測定値が$0.5$以上である確率は、

\begin{align}
P(T_1 \ge 0.5 \cap T_2 \ge 0.5) \\
&= P(T_1\ge0.5)P(T_2\ge0.5) \\
&= \frac{1}{4}
\end{align}

(2)3回独立に測定したとき、2回の測定値が$0.5$以上ある確率は、

\begin{align}
\binom{3}{1}\times P(T \ge 0.5)^2 P( T < 0.5) = \frac{3}{8} \end{align}