はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.5.8
カイ二乗検定
帰無仮説$H_0$:「予防接種の効果がない」に対する検定を行う.$H_0$が正しい場合の「発病した人」「発病しない人」の各期待確率$p_1,p_2$は,
\begin{align}
p_1 = \frac{62+18}{300} ,\quad p_2 = \frac{58+162}{300}
\end{align}
p_1 = \frac{62+18}{300} ,\quad p_2 = \frac{58+162}{300}
\end{align}
である.各期待度数は「期待確率×その区分の合計人数」であるから期待度数を表にすると,
$
\begin{array}{|c||*{2}{c|}|c|} \hline
\text{}&\text{発病した人}&\text{発病しない人}&\text{計} \\\hline
\text{予防接種を受けない人}&32&88&120 \\\hline
\text{予防接種を受けた人}&48&132&180 \\\hline
\text{計}&80&220&300 \\\hline
\end{array}
$
\begin{array}{|c||*{2}{c|}|c|} \hline
\text{}&\text{発病した人}&\text{発病しない人}&\text{計} \\\hline
\text{予防接種を受けない人}&32&88&120 \\\hline
\text{予防接種を受けた人}&48&132&180 \\\hline
\text{計}&80&220&300 \\\hline
\end{array}
$
となる.
従って,$Q(\bm{X})$は,
\begin{align}
Q(&\bm{X}) \lnl
&= \frac{(62-32)^2}{32} + \frac{(58-88)^2}{88} + \frac{(18-48)^2}{48} + \frac{(162-132)^2}{132}\lnl
&\fallingdotseq 81.63
\end{align}
Q(&\bm{X}) \lnl
&= \frac{(62-32)^2}{32} + \frac{(58-88)^2}{88} + \frac{(18-48)^2}{48} + \frac{(162-132)^2}{132}\lnl
&\fallingdotseq 81.63
\end{align}
となる.
$Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,$(2-1)(2-1) = 1$である. 統計表より
\begin{align}
&\chi^2_{1,0.005} = 12.838
\end{align}
&\chi^2_{1,0.005} = 12.838
\end{align}
であるから,有意確率$p$は
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.
p < 0.005 \end{align}
尤度比検定
テキスト(7.5.2)より
\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\left(62 \log\frac{62}{32} + 58 \log\frac{58}{88} + 18 \log\frac{18}{48} + 162 \log\frac{162}{132}\right)\lnl
&= 82.20
\end{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\left(62 \log\frac{62}{32} + 58 \log\frac{58}{88} + 18 \log\frac{18}{48} + 162 \log\frac{162}{132}\right)\lnl
&= 82.20
\end{align}
が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$(2-1)(2-1) = 1$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
尤度比検定を用いた場合の有意確率$p$は,
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.
p < 0.005 \end{align}