ex7.5.8 独立性の検定(その2)

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.5.8

カイ二乗検定

帰無仮説$H_0$:「予防接種の効果がない」に対する検定を行う.$H_0$が正しい場合の「発病した人」「発病しない人」の各期待確率$p_1,p_2$は,

\begin{align}
p_1 = \frac{62+18}{300} ,\quad p_2 = \frac{58+162}{300}
\end{align}

である.各期待度数は「期待確率×その区分の合計人数」であるから期待度数を表にすると,

$
\begin{array}{|c||*{2}{c|}|c|} \hline
\text{}&\text{発病した人}&\text{発病しない人}&\text{計} \\\hline
\text{予防接種を受けない人}&32&88&120 \\\hline
\text{予防接種を受けた人}&48&132&180 \\\hline
\text{計}&80&220&300 \\\hline
\end{array}
$

となる.

従って,$Q(\bm{X})$は,

\begin{align}
Q(&\bm{X}) \lnl
&= \frac{(62-32)^2}{32} + \frac{(58-88)^2}{88} + \frac{(18-48)^2}{48} + \frac{(162-132)^2}{132}\lnl
&\fallingdotseq 81.63
\end{align}

となる.

$Q(\bm{X})$が従うカイ二乗分布の自由度は,$(2-1)(2-1) = 1$である. 統計表より

\begin{align}
&\chi^2_{1,0.005} = 12.838
\end{align}

であるから,有意確率$p$は
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.

尤度比検定

テキスト(7.5.2)より

\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) &= 2\left(62 \log\frac{62}{32} + 58 \log\frac{58}{88} + 18 \log\frac{18}{48} + 162 \log\frac{162}{132}\right)\lnl
&= 82.20
\end{align}

が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$(2-1)(2-1) = 1$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
尤度比検定を用いた場合の有意確率$p$は,
\begin{align}
p < 0.005 \end{align}
である.