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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.9.5

\begin{align}
W= \frac{X}{X+Y} , V= Y
\end{align}

とおくと、

\begin{align}
X= \frac{V W}{1-W} , Y =V
\end{align}

ヤコビアンは

\begin{align}
J &= \begin{vmatrix}
\frac{\partial}{\partial w}x &\frac{\partial}{\partial v}x \\
\frac{\partial}{\partial w}y &\frac{\partial}{\partial v}y \\
\end{vmatrix}\lnl
&=\begin{vmatrix}
\frac{1}{(1-w)^2}v &\frac{w}{1-w} \\
0 &1 \\
\end{vmatrix}\lnl
&= \frac{1}{(1-w)^2}v
\end{align}

$X$と$Y$は独立だから、同時密度関数は、

\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) &= f_X(x) \cdot f_Y(y) \lnl
&= \frac{1}{2^\frac{m}{2} \Gamma\left(\frac{m}{2}\right) } x^{\frac{m}{2} – 1} e^{-\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right) } y^{\frac{n}{2} – 1}
e^{-\frac{x}{2}} \lnl
&= \frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) } x^{\frac{m}{2} – 1}y^{\frac{n}{2} – 1} e^{-\frac{x+y}{2}}
\end{align}

よって、$W$と$V$の同時密度関数は、

\begin{align}
&f_{W,V}(w,v) \lnl
&\quad=f_{X,Y}(w,v)\times J \lnl
&\quad=\frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) } \left( \frac{v w}{1-w} \right)^{\frac{m}{2} – 1} v^{\frac{n}{2} – 1} \exp\left( -\frac{1}{2} \frac{v}{1-w} \right) \times \frac{1}{(1-w)^2}v \lnl
&\quad= \underline {\left\{\frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) } \left( \frac{w}{1-w} \right)^{\frac{m}{2} – 1} \frac{1}{(1-w)^2} \right\} }v^{\frac{m+n}{2} – 1} \exp\left( -\frac{1}{2} \frac{v}{1-w} \right)
\end{align}

ここで、$v$とは無関係な係数である下線部を$K$とおく。
$W$の周辺密度関数は、

\begin{align}
f_W(w) &= \int_0^{\infty} f_{W,V}(w,v) \delt v\lnl
&= K \int_0^\infty v^{\frac{m+n}{2} – 1} \exp\left( -\frac{1}{2} \frac{v}{1-w} \right) \delt v\lnl
&= K \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{ \left( \frac{1}{2}\frac{1}{1-w} \right)^{\frac{m+n}{2}}} \lnl
&= \frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) } \left( \frac{w}{1-w} \right)^{\frac{m}{2} – 1} \frac{1}{(1-w)^2} \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{ \left( \frac{1}{2}\frac{1}{1-w} \right)^{\frac{m+n}{2}}} \\
&= \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{1}{1-w} \right)^{1-\frac{n}{2}} w^{\frac{m}{2}-1}\lnl
&= \frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2} \right)} w^{\frac{m}{2}-1} (1-w)^{\frac{n}{2}-1}
\end{align}

これはパラメータが $m/2$ , $n/2$のベータ分布の確率密度関数に等しい。
よって示された。