ex2.7.9 確率変数の線形変換同士の相関係数

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
$\require{cancel}$

ex2.7.9

定義に従って$V=aX+b$と$W=cY+d$の相関係数を計算する。

\begin{align}
&\rho(V,W) \\
&\quad= E(VW) – E(V)E(W)\\
&\quad= E(acXY+adX+bcY+bd) -(aE(X)+b)(cE(Y) +d)\\
&\quad= acE(XY) + \cancel{adE(X)}+ \cancel{bcE(Y)} + \cancel{bd} \\
&\qquad- (acE(X)E(Y) + \cancel{adE(X)} + \cancel{bcE(Y)} + \cancel{bd})\\
&\quad = ac(E(XY) – E(X)E(Y))\\
&\quad =ac Cov(X,Y)
\end{align}

一方、

\begin{align}
V(V) &= V(aX+b) = a^2 V(X)\\
V(W) &= V(cY+d) = c^2 V(Y)
\end{align}

であるから、

\begin{align}
\rho(V,W) &= \frac{ac Cov(X,Y)}{|ac|\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}\\
&= \left(\frac{ac}{|ac|}\right)\rho(X,Y)
\end{align}

よって示された。