ex1.1.2 集合の演算

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.1.2

(i)

\begin{align}
&\text{(a)}A^{\mathrm{c}} = \big\{ 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 \big\}\\
&\text{(b)}A\cup B = \big\{ 0 , 1 , 2, 3, 4 \big\}\\
&\text{(c)}A\cap B = \big\{ \big\} = \phi\\
&\text{(d)}A^{\mathrm{c}}\cap C = \big\{ 2 , 4 , 6 \big\}\\
&\text{(e)}A^{\mathrm{c}}\cup B^{\mathrm{c}} = \left(A\cap B\right)^\mathrm{c}= \phi^\mathrm{c}=\Omega \\
&\text{(f)}\left(A\cap B\right)^\mathrm{c} = \phi^\mathrm{c}= \Omega\\
&\text{(g)}A\cap B \cap C = \phi\\
&\text{(h)}A\cup B \cup C = \big\{ 0 , 1 , 2, 3, 4 ,6 \big\} \\
&\text{(i)}(A\cap B)\cup C = \phi \cup C = C = \big\{ 2 , 4 , 6 \big\}\\
&\text{(j)}A \cap (B\cup C) = \big\{0\big\} \cap \big\{ 1 , 2 , 3 , 4, 6\big\}= \phi\\
&\text{(k)}(A\cap B^\mathrm{c})\cup (A^\mathrm{c}\cap B) = \big\{0 \big\} \cup \big\{ 1 ,2 ,3 ,4 \big\} = \big\{ 0 , 1 , 2, 3, 4 \big\}
\end{align}

(ii)

\begin{align}
&\text{(a)}A^{\mathrm{c}} = \big\{x; 3 < x < \infty \big\}\\ &\text{(b)}A\cup B = \big\{x; 0 \le x \le 5 \big\}\\ &\text{(c)}A\cap B = \big\{ x; 2 < x \le 3 \big\} \\ &\text{(d)}A^{\mathrm{c}}\cap C = \big\{x ; 3 < x \le 4 \big\}\\ &\text{(e)}A^{\mathrm{c}}\cup B^{\mathrm{c}} = \left(A\cap B\right)^\mathrm{c}= \big\{x ; 0\le x \le 2 \text{または} 3 < x < \infty \big\} \\ &\text{(f)}\left(A\cap B\right)^\mathrm{c} = \big\{x ; 0\le x \le 2 \text{または} 3 < x < \infty \big\} \\ &\text{(g)}A\cap B \cap C = \big\{ 3 \big\}\\ &\text{(h)}A\cup B \cup C = \big\{ x ; 0 \le x \le 5 \big\} \\ &\text{(i)}(A\cap B)\cup C = \big\{x ; 2 < x \le 4 \big\}\\ &\text{(j)}A \cap (B\cup C) = A \cap B = \big\{ x; 2 < x \le 3 \big\}\\ &\text{(k)}(A\cap B^\mathrm{c})\cup (A^\mathrm{c}\cap B) = \big\{x ; 0 \le x \le 2 \text{または} 3 < x \le 5 \big\} \end{align}
なお,(j)は今回の問題で$C \subset B$なので $B\cup C = B$であることを用いた.