ex3.1.8 2つの二項分布の出目が同じになる確率

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.1.8

Aさん、Bさんが的に当てた数を表す確率変数をそれぞれ $X, Y$とする。
題意から、$ X \sim B(4,0.6 ) , Y\sim B(3,0.5) $。
求める確率$p$は、

\begin{align}
p &= \sum_{k=0}^3 P(X=k) \cdot P(Y=k) \\
&= \sum_{k=0}^3 \binom{4}{k} (0.6)^k(0.4)^{4-k} \binom{3}{k} (0.5)^3\\
&= (0.4)^4 (0.5)^3+ 12(0.6)(0.4)^3(0.5)^3 \\
&\qquad+ 18(0.6)^2(0.4)^2(0.5)^3 + 4(0.6)^3(0.4)(0.5)^3\\
&= (0.5)^3(0.4)[(0.4)^3+12(0.6)(0.4)^2 + 18(0.6)^2(0.4) + 4(0.6)^3]
\end{align}