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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.6.3

$Z$を標準正規分布に従う確率変数とする。
$ X \sim N(0,11) , Y \sim N(-2,25) $である。

(i)
正規分布の再生性から$ X+Y \sim N(-2,36) $となる。
従って、

\begin{align}
P(X+Y< 0) &= P\left(\frac{X+Y+2}{6} < \frac{1}{3}\right) \lnl &= P(Z < 0.33) \lnl &=0.629300 \end{align}
※$\cfrac{1}{3}$を$0.33$に近似して計算した

(ii)
(i)と同様にして、

\begin{align}
P(X+Y \le -9) &= P\left(\frac{X+Y+2}{6} < -\frac{7}{6}\right) \lnl &= P(Z \le -1.17) \lnl &=1 - P(Z \le 1.17)\lnl &=0.121 \end{align}
※$\cfrac{7}{6}$を$1.17$に近似して計算した

(iii)
(i)と同様に、
$ X-Y \sim N(2,36) $となることから、

\begin{align}
P(X-Y > 0) &= P\left(\frac{X-Y-2}{6} > -\frac{1}{3}\right) \lnl
&=P(Z < 0.33)\lnl &= 0.629300 \end{align}
※$\cfrac{1}{3}$を$0.33$に近似して計算した

(iv)
$ 2X \sim N(0,44) $となる。

\begin{align}
P(2X \ge 2) &= P\left(\frac{2X}{\sqrt{44}} \ge \frac{2}{\sqrt{44}} \right) \lnl
&= P(Z \ge 0.30)\lnl
&= 1 – P(Z < 0.30)\lnl &= 0.382089 \end{align}
$ 2/\sqrt{44} $を$0.30$に近似して計算した

(別解)
$X \sim N(0,11)$を使って普通に計算してもいいです。

\begin{align}
P(2X \ge 2) &= P(X \ge 1) \lnl
&= P\left(\frac{X}{\sqrt{11}} \ge \frac{1}{\sqrt{11}} \right) \lnl
&= P(Z \ge 0.30)\lnl
&= 1 – P(Z < 0.30)\lnl &= 0.382089 \end{align}

(v)
$ 2X+3Y \sim N(-6,269) $となる。

\begin{align}
P(2X + 3Y > 0) &= P\left(\frac{2X+3Y+6}{\sqrt{269}} > \frac{6}{\sqrt{269}} \right) \lnl
&= P(Z > 0.37)\lnl
&= 1 – P(Z \le 0.37)\lnl
&=0.355691
\end{align}

本書に載っている解答($0.3576$)とずいぶん離れているように思えますが、小数点第3位で$ 6/\sqrt{269} $を四捨五入して$0.37$としたせいでしょうか。
線形補間法でもう少し正確に計算してみます。
$ \frac{6}{\sqrt{269}} = 0.365826\cdots $であるから、$0.3658$として求めてみます。

\begin{align}
P(Z \le 0.3658) & \fallingdotseq \frac{58 }{100} ( P(Z \le 0.37) – P(Z \le 0.36)) + P(Z \le 0.36)\lnl
&= 0.64274114
\end{align}

これを使うと、$ P(2X + 3Y > 0) = 0.35725886 $。
近づきましたがまだ解答のものとは差があるように感じます。
Rで計算すると下記のようになりました。
詳細はわかりませんが解答では何かしらの近似を用いて計算をしており、その誤差と考えられます。

> 1-pnorm(6/sqrt(269))
[1] 0.3572473