ex1.2.6 事象の確率を求めて和・積計算をする

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.2.6

(a)

\begin{align}P(A_1) = \int_{0}^{3} e^{-x} dx = 1 – e^{-3}\end{align}

(b)
\begin{align}P(A_2) = \int_{2}^{4} e^{-x} dx = e^{-2} – e^{-4}\end{align}

(c) $h > 0$ として、$A_3’=[5,5+h)$とすると、$0 \le P(A_3) \le P(A_3′)$。
\begin{align}P(A_3′) = \int_{5}^{5+h} e^{-x} dx \rightarrow 0(h\rightarrow +0)\end{align}

挟み撃ちの原理より、$P(A_3) = 0$.
(d)
\begin{align} A_1\cap A_2 = [2,3) , P(A_1\cap A_2) = e^{-2} – e^{-3}\end{align}

(e)$A_1\cup A_2 = [0,4)$であるので、
\begin{align} P(A_1\cup A_2) = 1 – e^{-4}\end{align}

(f)
\begin{align} P(A_1^c) = 1 – P(A_1) = e^{-3}\end{align}

(g)$A_1^c \cap A_2 = [3,4) $であるので、
\begin{align} P(A_1^c\cap A_2) = e^{-3} – e^{-4}\end{align}