ex6.B.3 与えられた分布のパラメータの不偏推定量とその最小分散

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
$\newcommand{\tm}{{t_{-1}}}$

ex6.B.3

定義通り$T=T(\bm{X})$の期待値を計算する.

\begin{align}
E(T) &= \sum_{x=-1}^\infty f_X(x)\cdot t_x\lnl
&= p\tm + \sum_{x=0}^\infty (1-p)^2p^x\cdot x(1-\tm)\lnl
&= p\tm + (1-p)^2(1-\tm)\sum_{x=0}^\infty p^xx \lnl
&= p\tm + (1-\tm)(1-p)^2\cdot \frac{p}{(1-p)^2}\lnl
&= p
\end{align}

となり示された.

$\mathrm{Var}(T) = E(T^2) – E(T)^2$を用いて$\mathrm{Var}(T)$を求める.

\begin{align}
E(T^2) &= \sum_{x=-1}^\infty f_X(x) \cdot {t_x}^2\lnl
&= p\tm^2 + \sum_{x=0}^\infty (1-p)^2p^x \cdot x^2 (1-\tm)^2\lnl
&= p\tm^2 + (1-p)^2(1-\tm)^2\sum_{x=0}^\infty p^x \cdot x^2 \lnl
&= p\tm^2 + (1-p)^2(1-\tm)^2\cdot \frac{p(1+p)}{(1-p)^3}\lnl
&= p\tm^2 + (1-\tm)^2\cdot \frac{p^2+p}{1-p}\Lnl
\because \mathrm{Var}(T) &= p\tm^2 + (1-\tm)^2\cdot \frac{p^2+p}{1-p} – p^2
\end{align}

よって題意が示された.

$\mathrm{Var}(T)$を$\tm$の2次関数と見た時, 二次の項は正の係数を持つためこの2次関数は下に凸である.従って$\mathrm{Var}(T)$を$\tm$で微分し, $0$と置いたときの解が最小を与える.

\begin{align}
&\frac{\delt }{\delt \tm }\mathrm{Var}(T) = 2p\tm – 2(1-\tm)\cdot\frac{p^2+p}{1-p} = 0\lnl
\Longleftrightarrow & \tm = \frac{p+1}{2}
\end{align}

よって題意が示された.