1.3.2.集合間の関係

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

部分集合

2つの集合$A , B$があり,全ての$A$の元が$B$の元でもあるとき,$A$を$B$の部分集合(subset)といい, $B$を$A$の上位集合(superset)といいます.
$A$が$B$の部分集合であることを,($B$が$A$の上位集合であることを,)

\begin{align}
A \subseteq B \text{または} B \supseteq A
\end{align}

と表します.

互いに互いを部分集合であるような場合,両者は等しくなります.また2つの集合が等しい場合,当然互いは互いの部分集合になっています.つまり

\begin{align}
A \subseteq B , A \supseteq B \Leftrightarrow A=B
\end{align}

となります.

真部分集合

$A$が$B$の部分集合であり,$A \neq B$であるとき,$A$は$B$の真部分集合(proper subset)といい,

\begin{align}
A \subset B \text{または} B \supset A
\end{align}

と表します.

部分集合と真部分集合の違いをベン図で表すと次のようになります.

空集合は全ての空集合ではない集合の真部分集合です.つまり,

\begin{align}
\forall A \neq \phi \Rightarrow \phi \subset A
\end{align}

となります.

全体集合

基本的には集合の元は(厳密にはいろいろ議論はありますが)どんなものでもOKです.
しかし, ある範囲に絞ったほうが議論をしやすいことがあります.

例えば,「$3$で割り切れないものすべて」のような集合を考えるときに,「自然数の中で」という範囲を設定するのは自然なことです.

この, 全体の範囲のことを全体集合(Universal Set)といい, $U$や$\Omega$で表すことが多いです.
全体集合と集合$A$の関係をベン図で表すと下記のようになります.

全体集合$\Omega$と集合$A$の間には ,

\begin{align}
A \subseteq \Omega
\end{align}

の関係が成り立ちます.

補集合

ある全体集合$\Omega$と集合$A$が与えられたとき, $A$に属さない全ての元から成る集合$B$を考えます.

\begin{align}
B = \{x ; x \not \in A\ , x \in \Omega\}
\end{align}

このような集合$B$のことを集合$A$の補集合(Complement)といい$\bar{A}$や$A^\mathrm{c}$で表します.

補集合をベン図で表すと次のようになります.

補集合に関しては次のことが成り立ちます.

\begin{align}
\left(A^\mathrm{c}\right)^\mathrm{c} &= A\\
\phi^\mathrm{c} &= \Omega\\
\Omega^\mathrm{c} &= \phi\\
A\subseteq B &\Leftrightarrow B^\mathrm{c} \subseteq A^\mathrm{c}
\end{align}

互いに素

2つの集合$A$,$B$が共通する元を持たない場合, $A,B$は互いに素(coprime)といいます.
互いに素をベン図で表すと次のように二つの集合が重ならないような図になります.

これは次の章で紹介する積集合の記号を使うと,

\begin{align}
A\cap B = \phi
\end{align}

と表せます.

集合の分割

集合$A$の分割(partition)とは, 集合$A$の部分集合の集合であり,どの元も互いに素かつ全ての集合の和集合が元の集合$A$になるようなものをいいます.
つまり,集合$A$に対して $\{A_i\} ,i=1,2,\cdots$が分割であるとは,

\begin{align}
&\text{すべての} i\ne j \Longrightarrow A_i \cap A_j = \phi \\
&\bigcup_{i=1}^\infty A_i = A
\end{align}

の両方が成り立つことをいいます.

やはり言葉だと難しいので,ベン図で表すとよくわかると思います.
集合$A$を集合$A_1, A_2,\cdots,A_8$に分割した例です.