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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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\begin{align}
A &= \{(x,y); x \le 0 , y\le 0\} \\
B &= \{(x,y); x \le 1 , y\le -1\} \\
C &= \{(x,y); x \le 0 , y\le -1\} \\
D &= \{(x,y); x \le 1 , y\le 0\} \\
E &= \{(x,y) ; 0 \le x \le 1 , -1 \le y \le 0\}
\end{align}

とおくと、

\begin{align}
D = E + A + B – C
\end{align}

となる。一方、

\begin{align}
F_1(x,y) = P(X\le x , Y\le y)
\end{align}

であるから、

\begin{align}
P(D) &= P(E) + P(A) + P(B) – P(C)\\
\Leftrightarrow P(E) &= P(D) – P(A) – P(B) + P(C) \\
&= 1 – 1- 1 + 0 = -1
\end{align}

$P$は$0$以上であるからこれは矛盾。よって$ F_1 $は分布関数ではない。

(ii)

\begin{align}
f(x,y) &= \frac{\partial^2 F_2}{\partial x \partial y} \\
&=- \left(\frac{\partial e^{-x}}{\partial x} \right)\left(\frac{\partial e^{-y}}{\partial y} \right) \\
&= – e^{-x-y} < 0 \end{align}
結合密度関数は$0$以上でなければならないため、これは矛盾。 よって、$ F_2 $は分布関数ではない。