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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(i)
下図で、
$x^2 \le y \le 1$かつ$ x\ge y$はGray部分の領域となる。
従って、$ P(X \ge Y)$は、$ P(\text{Pink+Gray}) – P(\text{Pink})$となる。

\begin{align}
P(\text{Pink+Gray}) &= \int_0^1 \int_{x^2}^1 \frac{21}{4}x^2y \delt y \delt x\lnl
&= \int_0^1 \frac{21}{8} ( x^2 – x^6) \delt x\lnl
&= \frac{1}{2}\Lnl
P(\text{Pink}) &= \int_0^1 \int_{x}^1 \frac{21}{4}x^2y \delt y \delt x\lnl
&= \int_0^1 \frac{21}{8} ( x^2 – x^4) \delt x\lnl
&= \frac{7}{20}
\end{align}

よって、

\begin{align}
P(X \ge Y) = P(\text{Pink+Gray}) – P(\text{Pink}) = \frac{3}{20}
\end{align}

(ii)
$ x^2 \le y \le 1$の場合の$X$の周辺確率密度関数は、

\begin{align}
f_X(x) &= \int_{x^2}^1 \frac{21}{4} x^2 y \delt y\lnl
&= \frac{21}{8}(x^2 – x^6)
\end{align}

また、$ x^2 \le y \le 1$より$ -1 \le x \le 1$である。

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases}\cfrac{21}{8}(x^2 – x^6) & (-1 \le x \le 1)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

(iii)
$ x^2 \le y \le 1$のとき、

\begin{align}
f_{Y|X}(y|x) &= \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} \lnl
&= \frac{\cfrac{21}{4} x^2 y}{\cfrac{21}{8}(x^2-x^6)}\lnl
&= \frac{2y}{1-x^4}
\end{align}

よって、

\begin{align}
f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases}\cfrac{2y}{1-x^4}&(x^2 \le y \le 1)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}

また、

\begin{align}
P(Y> 1/2 | X=1/4) &= \int_{1/2}^1 \frac{2y}{1-(1/4)^4} \delt y\lnl
&= \left[\frac{256}{255}y^2\right]_{1/2}^1\lnl
&= \frac{64}{85}
\end{align}

(iv)
$X$と$Y$が独立であれば、$ f_{Y|X}(y|x) = f_{Y}(y)$となる。
(iii)より、これは満たされないことがわかるので、$X,Y$は独立ではない。

Rで上記のグラフを出すコード

curve(x^2,0,1,asp=1)
curve(1*x,0,2,add=TRUE)
curve(0*x + 1,add=TRUE)
curve(0*x,add=TRUE)
abline(v=0)

n <- 1000
x <- seq(0,1,length = n)
y1 <- x^2
y2 <- x
polygon(c(x,rev(x)),c(y1,rev(y2)),col="gray")

y3 <- 0*x + 1
polygon(c(x,rev(x)),c(y2,rev(y3)),col="pink")

(i)の別解

もちろん、直接的に$P(\text{Gray})$を求めてもよい。

\begin{align}
P(X \ge Y) &= \int_0^1 \int_{x^2}^x \frac{21}{4}x^2 y \delt y \delt x\lnl
&=\int_0^1 \left[ \frac{21}{8}x^2 y^2\right]_{x^2}^x \delt x\lnl
&=\int_0^1 \frac{21}{8} ( x^4 – x^6 ) \delt x\lnl
&=\frac{21}{8}\left[ \frac{1}{5} x^5 – \frac{1}{7} x^7 \right]_0^1\lnl
&= \frac{3}{20}
\end{align}