ex1.B.1 確率関数の等比な線形結合が新たな確率関数となることの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.B.1

確率の公理を満たすことを示せばよい。
すなわち、以下を示す。

\begin{align}
P_3(A) &\ge 0 \tag{i}\\
P_3(\Omega)&=1 \tag{ii}\\
P_3\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) &= \sum_{i=1}^\infty P_3(A_i) \tag{iii}
\end{align}

なお、上記で$A_1,A_2,\cdots$を互いに排反する事象とする。

(i)から順に示す。

\begin{align}
P_3(A) = aP_1(A) + (1-a)P_2(A)
\end{align}

ここで、$0\le a \le 1$であるから、

\begin{align}
0 \le 1-a \le 1
\end{align}

また、$P_1(A) , P_2(A)$は確率なので 値域は[0,1]である。
したがって、
\begin{align}
0\le aP_1(A) + (1-a)P_2(A) \le a \cdot 1+ (1-a)\cdot 1 = 1
\end{align}

(i)を満たすことが示された。

つぎに(ii)を示す。

\begin{align}
P_3(\Omega) &= aP_1(\Omega) + (1-a)P_2(\Omega)\\
&= a\cdot 1+ (1-a)\cdot 1 \\
&= 1
\end{align}

(ii)を満たすことが示された。

最後に(iii)を満たすことを示す。

\begin{align}
P_3\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) &= aP_1\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) + (1-a)P_2\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) \\
&= a\sum_{i=1}^\infty P_1(A_i) + (1-a)\sum_{i=1}^\infty P_2(A_i) \\
&= \sum_{i=1}^\infty \Bigl\{a P_1(A_i) + (1-a)P_2(A_i)\Bigr\} \\
&= \sum_{i=1}^\infty P_3(A_i)
\end{align}

(iii)を満たすことが示された。