ex7.5.1 ランダム性に関するカイ二乗検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.5.1

カイ二乗検定

テキスト(7.5.1)(i)より各数字の出現確率が同じ,すなわち全ての出現確率が$0.1$であるという帰無仮説$H_0$と,そうではないという対立仮説$H_1$に関する検定を行う.

テキスト(7.5.1)(i)の定義通り$Q(\bm{X})$を計算する.次の表を順次埋めるようにして計算すればよい.

$
\begin{array}{|c||*{10}{c|}|c|} \hline
\text{添字}i&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&\text{計} \\\hline
\text{数字}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&\text{–} \\\hline
\text{観測度数}x_i&20&12&8&16&21&15&18&22&10&8&150\\ \hline
\text{期待確率}p_{0i}&0.1&0.1&0.1&0.1&0.1&0.1&0.1&0.1&0.1&0.1&1\\ \hline
\text{期待度数}np_{0i}&15&15&15&15&15&15&15&15&15&15&150\\ \hline
x_i-np_{0i}&5&-3&-7&1&6&0&3&7&-5&-7&\text{–} \\ \hline
(x_i-np_{0i})^2&25&9&49&1&36&0&9&49&25&49&252 \\ \hline
\frac{(x_i-np_{0i})^2}{np_{0i}}&&&&&&&&&&&16.8 \\ \hline
\end{array}
$

なお,本問では$i$に関わらず$np_{0i}=15$であるため,最後の行はその前の行の合計から$15$割るだけでよいため,各列の計算は省略できる.

以上より,$Q(\bm{X}) = 16.8$である.また,統計表より

\begin{align}
\chi^2_{9,0.1} = 14.684 ,\quad \chi^2_{9,0.05} = 16.919
\end{align}

であるから,水準$0.1$の検定であれば$H_0$は棄却できず,水準$0.05$の検定であれば$H_0$は棄却できる.すなわち有意確率$p$は
\begin{align}
0.05 < p < 0.1 \end{align}
である.

尤度比検定

テキスト(7.5.2)より

\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 2\sum_{i=1}^k \log X_i \frac{X_i}{np_{0i}}
\end{align}

が帰無仮説のもとで漸近的に自由度$k-1$のカイ二乗分布に従うことを用いる.
\begin{align}
-2\log\lambda(\bm{X}) = 17.53936
\end{align}

である(計算はエクセルによる).また,統計表より
\begin{align}
\chi^2_{9,0.05} = 16.919 ,\quad \chi^2_{9,0.025} = 19.023
\end{align}

であるから,有意確率$p$は,
\begin{align}
0.025 < p < 0.05 \end{align}
である.