はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.3.3
テキストp174の(例4.3.1)より, 標本範囲$R$の確率密度関数は ,
\begin{align}
f_R(r) = \begin{cases}n(n-1) r^{n-2}(1-r) &(0 < r < 1)\lnl 0&(\text{その他})\end{cases} \end{align}
ここで$n$は標本数であり,本問の場合は$n=4$となる.
従って,
f_R(r) = \begin{cases}n(n-1) r^{n-2}(1-r) &(0 < r < 1)\lnl 0&(\text{その他})\end{cases} \end{align}
\begin{align}
P\left(R \ge \frac{1}{2}\right) &= \int_{1/2}^1 f_R(r) \delt r\lnl
&= n(n-1) \int_{1/2}^1 (r^{n-2} - r^{n-1}) \delt r\lnl
&= 1-(n+1)\frac{1}{2^n}\lnl
&= \frac{11}{16}
\end{align}
標本範囲の期待値は,
\begin{align}
E(R) &= \int_0^1 r \cdot f_R(r) \delt r\lnl
&= n(n-1)\int_0^1 (r^{n-1} - r^n) \delt r\lnl
&=\frac{n-1}{n+1}\lnl
&= \frac{3}{5}
\end{align}
となる.