ex1.B.4 ボンフェロニの不等式の証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.B.4

\begin{align}
P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) =& 1-P\left(\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)^c\right) \\
=& 1-P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i^c\right) \\
\ge& 1- \sum_{i=1}^n P(A_i^c) \qquad(\because \text{1.B.3:ブールの不等式})
\end{align}

よって示された。