はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.4.5
与えらえた確率分布の期待値$\mu$は,
\begin{align}
\mu& = \int_\theta^\infty x\cdot e^{-(x-\theta)} \delt x \lnl
&= \left[-x e^{-(x-\theta)}\right]_\theta^\infty + \int_\theta^\infty e^{-(x-\theta)} \delt x \lnl
&= \theta – \left[ e^{-(x-\theta)}\right]_\theta^\infty \lnl
&= \theta + 1\Lnl
\therefore& \theta = \mu – 1
\end{align}
\mu& = \int_\theta^\infty x\cdot e^{-(x-\theta)} \delt x \lnl
&= \left[-x e^{-(x-\theta)}\right]_\theta^\infty + \int_\theta^\infty e^{-(x-\theta)} \delt x \lnl
&= \theta – \left[ e^{-(x-\theta)}\right]_\theta^\infty \lnl
&= \theta + 1\Lnl
\therefore& \theta = \mu – 1
\end{align}
であるので,$\theta$のモーメント法推定量$\hat{\theta}$は,
\begin{align}
\hat{ \theta} = M_1-1 = \overline{X} – 1
\end{align}
\hat{ \theta} = M_1-1 = \overline{X} – 1
\end{align}
となり示された.