はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex5.A.2
題意より$k$は既知で$\theta$は未知である.
\begin{align}
I_k(x) = \begin{cases}1 &x \ge k\\ 0 & x < k\end{cases} \end{align}
とおくと確率密度関数は
I_k(x) = \begin{cases}1 &x \ge k\\ 0 & x < k\end{cases} \end{align}
\begin{align}
f(x;\theta) &= \theta k^\theta x^{-\theta-1} \cdot I_k(x) \\
&= I_k(x)\exp\big(-(\theta+1)\log x + \log(\theta k^\theta)\big)
\end{align}
となる.
となる.ここで
\begin{align}
h(x) = I_k(x), \qquad c(\theta)=-(\theta+1) ,\qquad T(x)=\log x ,\qquad d(\theta)=\log(\theta k^\theta)
\end{align}
とおけば$f(x;\theta)=h(x)\exp\big(c(\theta)T(x)+d(\theta)\big) $とできるので, パレト分布は1パラメータの指数型分布族となる.