ex5.A.2 パレト分布が指数型分布族に属することの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex5.A.2

題意より$k$は既知で$\theta$は未知である.

\begin{align}
I_k(x) = \begin{cases}1 &x \ge k\\ 0 & x < k\end{cases} \end{align}
とおくと確率密度関数は
\begin{align} f(x;\theta) &= \theta k^\theta x^{-\theta-1} \cdot I_k(x) \\ &= I_k(x)\exp\big(-(\theta+1)\log x + \log(\theta k^\theta)\big) \end{align}
となる. となる.ここで
\begin{align} h(x) = I_k(x), \qquad c(\theta)=-(\theta+1) ,\qquad T(x)=\log x ,\qquad d(\theta)=\log(\theta k^\theta) \end{align}
とおけば$f(x;\theta)=h(x)\exp\big(c(\theta)T(x)+d(\theta)\big) $とできるので, パレト分布は1パラメータの指数型分布族となる.