はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.1.6
Xをエンジン2基の飛行機の故障したエンジンの数を表す確率変数とする。
Yをエンジン4基の飛行機の故障したエンジンの数を表す確率変数とする。
題意より、$ X \sim B(2,q) , Y\sim B(4,q) $である。
エンジン2基の飛行機が飛行不能となる確率$ p_2 $は、エンジンが1基以上壊れる確率だから、
\begin{align}
p_2 &= P(X\ge 1) \\
&= 1 – P(X = 0) \\
&= 1-(1-q)^2
\end{align}
p_2 &= P(X\ge 1) \\
&= 1 – P(X = 0) \\
&= 1-(1-q)^2
\end{align}
エンジン4基の飛行機が飛行不能となる確率$ p_4 $は、エンジンが2基以上壊れる確率だから、
\begin{align}
p_4 &= P(Y\ge 2) \\
&= 1 – P(Y = 0) – P(Y=1) \\
&= 1-(1-q)^4 – 4q(1-q)^3
\end{align}
p_4 &= P(Y\ge 2) \\
&= 1 – P(Y = 0) – P(Y=1) \\
&= 1-(1-q)^4 – 4q(1-q)^3
\end{align}
エンジン2基の飛行機が安全である⇔$ p_2 \le p_4 $
\begin{align}
&p_2 \le p_4\\
&\Leftrightarrow 1-(1-q)^2 \le 1-(1-q)^4 – 4q(1-q)^3\\
&\Leftrightarrow (1-q)^2 \ge (1-q)^4 – 4q(1-q)^3\\
&\Leftrightarrow q \ge \frac{2}{3}
\end{align}
&p_2 \le p_4\\
&\Leftrightarrow 1-(1-q)^2 \le 1-(1-q)^4 – 4q(1-q)^3\\
&\Leftrightarrow (1-q)^2 \ge (1-q)^4 – 4q(1-q)^3\\
&\Leftrightarrow q \ge \frac{2}{3}
\end{align}
qは確率だから、$ \cfrac{2}{3} \le q \le 1 $
問題文は$ \sqrt{2/3} \le q \le 1 $を示せとなっていますが、間違いですかね。