ex7.1.2 正規分布の平均に関する検定の棄却域の設定・タイプIIの誤り・検出力・有意水準

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.1.2

帰無仮説は1つのパラメータ$\mu=0$から成るから,検定の大きさ$\alpha$は,

\begin{align}
\alpha &= \sup_{\mu = 0}\beta(\mu) \lnl
&= P(X > k;\mu=0) \lnl
&= P\left(\frac{X-0}{\sqrt{4}} > \frac{k-0}{\sqrt{4}}\right)\lnl
&= P\left(Z > \frac{k}{2}\right)
\end{align}

である.なお$Z$は標準正規分布に従う確率変数とする.

以下,$\Phi(z)$を標準正規分布の分布関数とする.

(i)

(a)$\alpha=0.1$のとき

$\Phi(z) = 1-\alpha = 0.9$となる$z$は標準正規分布表(T.1)より, $z=1.28$となる.
これが$\cfrac{k}{2}$と等しいから, $k=2.56$である.

このときのTypeIIの誤りは,

\begin{align}
P(\{\text{TypeIIの誤り}\}) &= P(X \le 2.56 | H_1)\lnl
&=P\left(Z\le \frac{2.56-5}{2}\right)\lnl
&=P(Z \le -1.22)\lnl
&\fallingdotseq 0.11123
\end{align}

対立仮説に対する検出力は,

\begin{align}
\beta(5) = P(X > 2.56 | H_1) \fallingdotseq 0.88877
\end{align}

である.

(b)$\alpha=0.05$のとき

$\Phi(z) = 1-\alpha = 0.95$となる$z$は標準正規分布表(T.1)より, $z=1.645$となる.
これが$\cfrac{k}{2}$と等しいから, $k=3.29$である.

このときのTypeIIの誤りは,

\begin{align}
P(\{\text{TypeIIの誤り}\}) &= P(X \le 3.29 | H_1)\lnl
&=P(Z \le -0.855)\lnl
&\fallingdotseq 0.1963
\end{align}

なお、最後の変形は標準正規分布表から$\Phi(-0.85)$と$\Phi(-0.86)$を求めて線形補間を用いて求めた.

対立仮説に対する検出力は,

\begin{align}
\beta(5) = P(X > 3.29 | H_1) \fallingdotseq 0.8037
\end{align}

である.

(c)$\alpha=0.01$のとき

$\Phi(z) = 1-\alpha = 0.99$となる$z$は標準正規分布表(T.1)より, $z=2.33$となる.
これが$\cfrac{k}{2}$と等しいから, $k=4.66$である.

このときのTypeIIの誤りは,

\begin{align}
P(\{\text{TypeIIの誤り}\}) &= P(X \le 4.66 | H_1)\lnl
&=P(Z \le -0.17)\lnl
&\fallingdotseq 0.4325
\end{align}

対立仮説に対する検出力は,

\begin{align}
\beta(5) = P(X > 4.66 | H_1) \fallingdotseq 0.5675
\end{align}

である.

(ii)
$P(X > 3.2|H_0)$を求めればよい.

\begin{align}
P(X > 3.2|H_0) &= P(Z > 1.6) \fallingdotseq 0.0548
\end{align}