はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.2.3
パラメータ$\lambda$のポアソン分布の確率関数は, $x=0,1,\cdots$で
\begin{align}
f(x;\lambda) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}
\end{align}
f(x;\lambda) = \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}
\end{align}
である.
\begin{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_1)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_0)} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i} \exp\Big(n(\lambda_0-\lambda_1)\Big)
\end{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_1)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_0)} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i} \exp\Big(n(\lambda_0-\lambda_1)\Big)
\end{align}
となるので, ネイマン・ピアソンの補助定理より, ある定数$k$で,
\begin{align}
\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i} \exp\Big(n(\lambda_0-\lambda_1)\Big) > k
\end{align}
\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i} \exp\Big(n(\lambda_0-\lambda_1)\Big) > k
\end{align}
ならば帰無仮説を棄却する.これは, 両辺の対数をとって整理すると,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^n x_i (\log \lambda_1 – \log \lambda_0) > \log k + n(\lambda_1 – \lambda_0)\Lnl
\Longrightarrow & \sum_{i=1}^n x_i > \frac{\log k – n(\lambda_1 – \lambda_0)}{\log \lambda_1 – \log \lambda_0} \qquad(\because \lambda_1 > \lambda_0)
\end{align}
&\sum_{i=1}^n x_i (\log \lambda_1 – \log \lambda_0) > \log k + n(\lambda_1 – \lambda_0)\Lnl
\Longrightarrow & \sum_{i=1}^n x_i > \frac{\log k – n(\lambda_1 – \lambda_0)}{\log \lambda_1 – \log \lambda_0} \qquad(\because \lambda_1 > \lambda_0)
\end{align}
のとき帰無仮説を棄却することと同じことである.この検定が求めるMP検定である.
ここで,ポアソン分布の再生性より,
\begin{align}
\sum_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{Po}(n\lambda_0)
\end{align}
\sum_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{Po}(n\lambda_0)
\end{align}
となる.
よって, 水準$\alpha$のMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.
\begin{align}
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} > c\lnl
r&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} = c\lnl
0&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} < c\lnl \end{cases} \end{align}
ただし, 自然数$c$と実数$r (0 \le r \le 1)$は, $Y \sim \mathrm{Po}(n\lambda_0)$として,
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} > c\lnl
r&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} = c\lnl
0&\displaystyle\sum_{i=1}^n {x_i} < c\lnl \end{cases} \end{align}
\begin{align}
&P(Y > c) + r P(Y=c) = \alpha \lnl
&\Longrightarrow P(Y \ge c+1 ) + r P(Y=c) = \alpha \lnl
&\Longrightarrow \sum_{x=c+1}^\infty \frac{(n\lambda_0)^x}{x!}e^{-n\lambda_0} + r\frac{(n\lambda_0)^c}{c!}e^{-n\lambda_0} = \alpha
\end{align}
&\Longrightarrow P(Y \ge c+1 ) + r P(Y=c) = \alpha \lnl
&\Longrightarrow \sum_{x=c+1}^\infty \frac{(n\lambda_0)^x}{x!}e^{-n\lambda_0} + r\frac{(n\lambda_0)^c}{c!}e^{-n\lambda_0} = \alpha
\end{align}
を満たすように選ぶ.このような$(c, r)$は必ず一意に存在する.