はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.4.11
$X,Y$は独立であるから、結合密度関数は、
\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} e^{-x-y} & (x > 0 , y>0)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
f_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} e^{-x-y} & (x > 0 , y>0)\\
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
である。
(i)(2.4.9)の(i)より、
\begin{align}
f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,z-x) \delt x
\end{align}
f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,z-x) \delt x
\end{align}
である。
$f_{X,Y}(x,y) \ne 0 \Leftrightarrow x > 0 , y > 0$であるから、
\begin{align}
&f_{X,Y}(x,z-x) \not = 0\\
\Leftrightarrow & x > 0 , z-x > 0\\
\Leftrightarrow & z > x > 0
\end{align}
&f_{X,Y}(x,z-x) \not = 0\\
\Leftrightarrow & x > 0 , z-x > 0\\
\Leftrightarrow & z > x > 0
\end{align}
従って、
(a) $ z > 0$のとき、
\begin{align}
f_Z(z) &= \int_{0}^{z} f_{X,Y}(x,z-x) \delt x\\
&= \int_{0}^{z} e^{-x – (z-x)} \delt x \\
&= \int_{0}^{z} e^{-z} \delt x \\
&= ze^{-z}
\end{align}
f_Z(z) &= \int_{0}^{z} f_{X,Y}(x,z-x) \delt x\\
&= \int_{0}^{z} e^{-x – (z-x)} \delt x \\
&= \int_{0}^{z} e^{-z} \delt x \\
&= ze^{-z}
\end{align}
(b) その他の場合
\begin{align}
f_Z(z) &= 0
\end{align}
f_Z(z) &= 0
\end{align}
(ii) (2.4.9)の(iv)より、
\begin{align}
f_W(w) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(xw,x) |x| \delt x
\end{align}
f_W(w) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(xw,x) |x| \delt x
\end{align}
である。
$f_{X,Y}(x,y) \ne 0 \Leftrightarrow x > 0 , y > 0$であるから、
\begin{align}
&f_{X,Y}(xw,x) \not = 0\\
\Leftrightarrow & xw > 0 , x > 0\\
\Leftrightarrow & w > 0 , x > 0
\end{align}
&f_{X,Y}(xw,x) \not = 0\\
\Leftrightarrow & xw > 0 , x > 0\\
\Leftrightarrow & w > 0 , x > 0
\end{align}
従って、
(a) $w > 0$のとき、
\begin{align}
f_W(w) &= \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(xw,x) |x| \delt x \\
&= \int_{0}^{\infty} xe^{-x(w+1)} \delt x \\
&= \left[-x e^{-x(w+1)}\frac{1}{w+1}\right]_0^{\infty} + \frac{1}{w+1}\int_{0}^{\infty} e^{-x(w+1)} \delt x \\
&= \left[ \frac{-e^{-x(w+1)} }{(w+1)^2}\right]_0^{\infty}\\
&= \frac{1}{(w+1)^2}
\end{align}
f_W(w) &= \int_{0}^{\infty} f_{X,Y}(xw,x) |x| \delt x \\
&= \int_{0}^{\infty} xe^{-x(w+1)} \delt x \\
&= \left[-x e^{-x(w+1)}\frac{1}{w+1}\right]_0^{\infty} + \frac{1}{w+1}\int_{0}^{\infty} e^{-x(w+1)} \delt x \\
&= \left[ \frac{-e^{-x(w+1)} }{(w+1)^2}\right]_0^{\infty}\\
&= \frac{1}{(w+1)^2}
\end{align}
(b) $ w \le 0$のとき、
\begin{align}
f_W(w) &= 0
\end{align}
f_W(w) &= 0
\end{align}