はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.3.6
(a)
\begin{align}
\lim_{x,y \rightarrow \infty} F_{X,Y}(x,y) &= c \left( \lim_{y\rightarrow \infty} \frac{y}{1+2y}\right)\left(\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x}{1+x}\right) \lnl
&=\frac{c}{2}
\end{align}
\lim_{x,y \rightarrow \infty} F_{X,Y}(x,y) &= c \left( \lim_{y\rightarrow \infty} \frac{y}{1+2y}\right)\left(\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x}{1+x}\right) \lnl
&=\frac{c}{2}
\end{align}
$\displaystyle \lim_{x,y \rightarrow \infty} F_{X,Y}(x,y) = 1$だから、$ c=2$。
(b)
\begin{align}
f_{X,Y}(x,y) &= \frac{ \partial^2 }{\partial x \partial y}F_{X,Y}(x,y) \lnl
&= 2 \frac{ \partial }{\partial x }\left(\frac{x}{1+x}\right)\cdot \frac{ \partial }{\partial y }\left(\frac{y}{1+2y}\right)\lnl
&= \frac{2}{(1+x)^2(1+2y)^2}
\end{align}
f_{X,Y}(x,y) &= \frac{ \partial^2 }{\partial x \partial y}F_{X,Y}(x,y) \lnl
&= 2 \frac{ \partial }{\partial x }\left(\frac{x}{1+x}\right)\cdot \frac{ \partial }{\partial y }\left(\frac{y}{1+2y}\right)\lnl
&= \frac{2}{(1+x)^2(1+2y)^2}
\end{align}
(c)
$0\le x$のとき、
\begin{align}
f_X(x) &= \int_0^{\infty} 2\frac{1}{(1+x)^2} \frac{1}{(1+2y)^2} \delt y\lnl
&=\frac{1}{(1+x)^2}
\end{align}
f_X(x) &= \int_0^{\infty} 2\frac{1}{(1+x)^2} \frac{1}{(1+2y)^2} \delt y\lnl
&=\frac{1}{(1+x)^2}
\end{align}
従って、
\begin{align}
F_X(x) = \int_0^x \frac{1}{(1+t)^2} \delt t = \frac{x}{1+x}
\end{align}
F_X(x) = \int_0^x \frac{1}{(1+t)^2} \delt t = \frac{x}{1+x}
\end{align}
よって、
\begin{align}
F_X(x) = \begin{cases}\cfrac{x}{(1+x)}&(0 \le x)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
F_X(x) = \begin{cases}\cfrac{x}{(1+x)}&(0 \le x)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
$ 0\le y$のとき、
\begin{align}
f_Y(y) &= \int_0^{\infty} 2\frac{1}{(1+x)^2} \frac{1}{(1+2y)^2} \delt x\lnl
&=\frac{2}{(1+2y)^2}
\end{align}
f_Y(y) &= \int_0^{\infty} 2\frac{1}{(1+x)^2} \frac{1}{(1+2y)^2} \delt x\lnl
&=\frac{2}{(1+2y)^2}
\end{align}
従って、
\begin{align}
F_Y(y) = \int_0^y \frac{2}{(1+2t)^2} \delt t = \frac{2y}{1+2y}
\end{align}
F_Y(y) = \int_0^y \frac{2}{(1+2t)^2} \delt t = \frac{2y}{1+2y}
\end{align}
\begin{align}
F_Y(y) = \begin{cases}\cfrac{2y}{(1+2y)}&(0 \le y)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}
F_Y(y) = \begin{cases}\cfrac{2y}{(1+2y)}&(0 \le y)\lnl
0&(\text{other})\end{cases}
\end{align}