ex3.A.2 ラプラス分布の性質

はじめに

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ex3.A.2

この問題ではラプラス分布を扱います。

(i)fが確率密度関数であることの確認

与えられた密度関数は、

\begin{align}
f_X(x) = \frac{1}{2\beta} \exp\left(-\frac{|x-\alpha|}{\beta}\right)
\end{align}

ここで、$\beta > 0 , \forall t \in \mathbb{R} , \exp(t )> 0$より、$\forall x \in \mathbb{R} , f_X(x) > 0$がわかる。
等号は成立しない。

また、

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= \frac{1}{2\beta} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{|x-\alpha|}{\beta}\right) dx\\
\left(\text{Put } \frac{x-\alpha}{\beta} \text{ as }t\right)\\
&=\frac{1}{2\cancel{\beta}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-|t|)\cancel{\beta} dt\\
&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^0 \exp(t) dt + \frac{1}{2}\int_{0}^\infty \exp(-t) dt \\
&=1
\end{align}

よって示された。

(ii)分布関数の導出

$f_X(x)$を積分して分布関数$F_X(x)$を求める。

\begin{align}
F_X(x) &= \int_{-\infty}^x \frac{1}{2\beta} \exp\left(-\frac{|s-\alpha|}{\beta}\right) ds\\
\left(\text{Put } \frac{s-\alpha}{\beta} \text{ as }t\right)\\
&=\frac{1}{2\cancel{\beta}}\int_{-\infty}^{\frac{x-\alpha}{\beta}} \exp(-|t|)\cancel{\beta} dt
\end{align}

ここで、$\frac{x-\alpha}{\beta} < 0$とすると、$x< \alpha$であり、

\begin{align} F_X(x) &= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\frac{x-\alpha}{\beta}} \exp(t) dt\\ &= \frac{1}{2}\Bigl[\exp(t)\Bigr]_{-\infty}^{\frac{x-\alpha}{\beta}}\\ &= \frac{1}{2}\exp\left(\frac{x-\alpha}{\beta}\right) \end{align}
$\frac{x-\alpha}{\beta} \ge 0$とすると、$x \ge \alpha$であり、
\begin{align} F_X(x) &= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{0} \exp(t) dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{x-\alpha}{\beta}} \exp(-t) dt \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\Bigl[-\exp(-t)\Bigr]_{0}^{\frac{x-\alpha}{\beta}}\\ &=1- \frac{1}{2}\exp\left(-\frac{x-\alpha}{\beta}\right) \end{align}
以上で示された。

(iii)期待値と分散の導出

期待値

定義に従って、

\begin{align}
E(X) &= \frac{1}{2\beta} \int_{-\infty}^{\infty} x \exp \left(-\frac{|x-\alpha|}{\beta}\right)dx \\
\left(\text{Put } \frac{x-\alpha}{\beta} \text{ as }t\right)\\
&= \frac{\beta}{2} \underset{(A)}{\underline{\int_{-\infty}^{\infty} t \exp(-|t|)dt}} + \frac{\alpha}{2}\underset{(B)}{\underline{\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-|t|)dt}}\label{expect}
\end{align}

(A)と(B)をそれぞれ計算すると、

\begin{align}
(A) &= \int_{-\infty}^{0} t \exp(t) dt + \int_0^{\infty} t \exp(-t) dt\\
&= \left\{\Bigl[t \exp(t)\Bigr]_{-\infty}^0 – \int_{-\infty}^0 \exp(t) dt\right\} \\
&\qquad + \left\{\Bigl[-t \exp(-t)\Bigr]_{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty}(-1) \exp(-t) dt\right\} \\
&= 0\\
(B)&=\int_{-\infty}^0 \exp(t) dt + \int_0^{\infty} \exp (-t) dt\\
&= \Bigl[e^t\Bigr]_{-\infty}^0 + \Bigl[-e^{-t}\Bigr]_0^{\infty}\\
&= 2
\end{align}

これを$\eqref{expect}$に代入すると、$E(X)=\alpha$となる。

分散

$E(X^2)$を求める。期待値と同様に、$t = \frac{x-\alpha}{\beta}$となるように置換積分を行う。

\begin{align}
E(X^2) &= \frac{1}{2\beta}\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \exp\left(-\frac{|x-\alpha|}{\beta}\right) dx\\
&= \cfrac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}(\beta t + \alpha)^2 \exp(-|t|) dt\\
&= \cfrac{\beta^2}{2} \underset{(C)}{\underline{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t^2 \exp(-|t|) dt}}
+ \alpha\beta \underset{(D)}{\underline{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t \exp(-|t|) dt}}
+ \cfrac{\alpha^2}{2} \underset{(E)}{\underline{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-|t|) dt}}\label{expect2}
\end{align}

ここで、(D)は(A)と同一のため$(D)=0$ , (E)は(B)と同一のため、$(E)=2$である。
\begin{align}
(C) &= \underset{(C_1)}{\underline{\int_{-\infty}^{0} t^2 \exp(t) dt}} + \underset{(C_2)}{\underline{\int_{0}^{\infty} t^2 \exp(-t) dt}}\\
(C_1) &= \Bigl[t^2 e^t\Bigr]_{-\infty}^0 – \int_{-\infty}^0 2t e^t dt \\
&= -\Bigl[2te^t\Bigr]_{-\infty}^0 + 2\int_{-\infty}^0 e^t dt\\
&=2\\
(C_2) &= \Bigl[-t^2 e^{-t}\Bigr]_{0}^\infty + \int_{0}^\infty 2t e^{-t} dt \\
&= -\Bigl[-2te^{-t}\Bigr]_{0}^\infty + 2\int_{0}^\infty e^{-t} dt\\
&=2\\
\therefore (C) &= 4
\end{align}

$\eqref{expect2}$にこの結果を代入して、$E(X^2) = 2\beta^2 + \alpha^2$
よって、
\begin{align}
V(X) = E(X^2) – E(X)^2 = 2\beta^2
\end{align}

以上より示された。

(iv)積率母関数の導出

積率母関数の定義に従って計算する。
途中で、$s = \frac{x-\alpha}{\beta}$と置換積分を行っている。

\begin{align}
m_X(t) &= E(e^{tX}) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\beta} \exp\left(-\frac{|x-\alpha|}{\beta} + tx\right) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} \exp(-|s| + t(\beta s + \alpha)) ds\\
&= \frac{e^{\alpha t}}{2} \left\{ \underset{\text{①}}{\underline{ \int_{-\infty}^0 \exp( (1+\beta t)s ) ds }} + \underset{\text{②}}{\underline{ \int_{0}^{\infty} \exp( (\beta t-1)s ) ds }} \right\}
\end{align}

ここで、

\begin{align}
\text{①} &= \frac{1}{1+\beta t}\Bigl[\exp( (1+\beta t)s)\Bigr]_{-\infty}^0\\
&= \frac{1}{1+\beta t} – \lim_{s \to -\infty} \exp((1+\beta t)s)
\end{align}

極限が収束するためには、$1+\beta t < 0$が必要、つまり、$ t > \frac{-1}{\beta}$のとき、

\begin{align}
\text{①} = \frac{1}{1+\beta t}
\end{align}

同様に、

\begin{align}
\text{②} &= \frac{1}{\beta t – 1}\Bigl[\exp( (\beta t -1)s)\Bigr]_{0}^{\infty}\\
&= \lim_{s \to \infty} \exp((\beta t -1)s) – \frac{1}{\beta t -1}
\end{align}

極限が収束するためには、$\beta t -1< 0$が必要、つまり、$ t < \frac{1}{\beta}$のとき、

\begin{align} \text{②} = \frac{1}{1-\beta t} \end{align}
これらを(11)に代入して、 $ t > \frac{-1}{\beta}$かつ$ t < \frac{1}{\beta}$つまり、$|t| < \frac{1}{\beta}$のとき、
\begin{align} m_X(t) = \frac{e^{\alpha t}}{2}\left(\frac{1}{1+\beta t} + \frac{1}{1-\beta t}\right) = \frac{e^{\alpha t}}{1-\beta^2 t^2}\label{sekiritsubokansu} \end{align}
よって示された。

おまけ(積率母関数から期待値・分散の導出)

積率母関数を先に求めてから期待値・分散を求めることもできる。
$\eqref{sekiritsubokansu}$の積率母関数を$t$で微分して、

\begin{align}
m_X'(t) &= \alpha m_X(t) + 2 m_X(t)\cdot \frac{\beta^2 t}{(1-\beta^2 t^2)}\label{sekiritsubokansu_bibun}
\end{align}

であるから、
\begin{align}
E(X) = m_X'(0) &= \alpha &(\because m_X(0) = 1)
\end{align}

\begin{align}
m_X”(t) &= \alpha m_X'(t) + 2 m_X'(t) \cdot \frac{\beta^2 t}{(1-\beta^2 t^2)} \\
&\qquad + 2m_X(t) \left(\frac{\beta^2}{1-\beta^2 t^2} + \frac{2 \beta^4 t^2}{(1-\beta^2 t^2)^2} \right)
\end{align}

であるから、
\begin{align}
E(X^2) &= m_X”(0) = \alpha^2 + 2\beta^2\\
\therefore V(X) &= E(X^2) – E(X)^2 = 2\beta^2
\end{align}

長々とした積分計算しなくてもいいのが利点ですが、一般的には微分もそこそこ計算量が多くなります。
ここでは$\eqref{sekiritsubokansu_bibun}$で$m_X'(t)$を$m_X(t)$にうまく帰着することで計算量を抑えています。