ex2.A.1

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.A.1

(i)
(a)

\begin{align}
P(X=0|Z=1) &= \frac{P(X=0 , Z=1)}{P(Z=1)}\lnl
& = \frac{\cfrac{1}{2}\cdot \left(\cfrac{1}{2}\right)^3 }{\cfrac{1}{2}} \lnl
&= \frac{1}{8}
\end{align}

(b)

\begin{align}
P(X=0,Z=1) &= \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \lnl
&= \frac{1}{16}
\end{align}

(c)

\begin{align}
P(X=0) &= P(X=0,Z=1) + P(X=0,Z=0)\lnl
&= \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 \lnl
&= \frac{1}{16} + \frac{27}{128}\lnl
&= \frac{35}{128}
\end{align}

(d)

\begin{align}
P(Z=1|X=0) &= \frac{P(Z=1,X=0)}{P(X=0)}\lnl
&= \frac{1}{16} \cdot \frac{128}{35} \lnl
&= \frac{8}{35}
\end{align}

(ii)
(a)
$k = 0,1,2,3$のとき、

\begin{align}
P(X=k) &= \frac{1}{2}\binom{3}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{2}\binom{3}{k}\left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{3-k}\lnl
&= \binom{3}{k}\frac{8+3^{3-k}}{128}
\end{align}

$k$がその他のとき、

\begin{align}
P(X=k) &= 0
\end{align}

(b)

\begin{align}
E(X) &= 0\cdot P(X=0 ) + 1\cdot P(X=1) \\
&\qquad+ 2\cdot P(X=2) + 3\cdot P(X=3)\lnl
&= \frac{9}{8}\Lnl
E(X^2) &= 0^2\cdot P(X=0 ) + 1^2\cdot P(X=1)\\
&\qquad + 2^2\cdot P(X=2) + 3^2\cdot P(X=3)\lnl
&= \frac{33}{16}\Lnl
V(X) &= \frac{33}{16} – \left(\frac{9}{8}\right)^2 \lnl
&= \frac{51}{64}
\end{align}

(iii)
(a)

\begin{align}
P(Y=5|Z=1) &= \frac{P(Y=5,Z=1)}{P(Z=1)} \lnl
&= \frac{\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{1}{2}\right)^5}{\cfrac{1}{2}} \lnl
&= \frac{1}{32}
\end{align}

(b)

\begin{align}
P(Y=5,Z=1) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{64}
\end{align}

(c)

\begin{align}
P(Y=5)&= P(Y=5,Z=1) + P(Y=5,Z=0) \lnl
&= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^5 + \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^4\frac{1}{4} \lnl
&= \frac{113}{2048}
\end{align}

(d)

\begin{align}
P(Y = k) &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^k + \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{k- 1 } \frac{1}{4} \lnl
&= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^k + \frac{1}{6}\left(\frac{3}{4}\right)^k
\end{align}

よって、

\begin{align}
E(Y) &= \sum_{k=1}^\infty k\cdot P(Y=k)\lnl
&= \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{y}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^k + \frac{k}{6}\left(\frac{3}{4}\right)^k \right)\lnl
&= \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{\left(1-\cfrac{1}{2}\right)^2} + \frac{1}{6}\frac{3}{4}\frac{1}{\left(1-\cfrac{3}{4}\right)^2}\lnl
&= 3
\end{align}