ex4.2.1 標本分散の表現

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.2.1

簡単な計算により,

\begin{align}
(X_i – \overline{X}_n)^2 &= {X_i}^2 – 2{X_i}\overline{X}_n + \overline{X}_n^2\Lnl
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X}_n)^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{X_i}^2 – \frac{2}{n}\overline{X}_n \sum_{i=1}^n {X_i} + \frac{1}{n}\overline{X}_n^2 \sum_{i=1}^n 1\lnl
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – \overline{X}_n^2
\end{align}

よって${S_n}^2 = \displaystyle \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – \overline{X}_n^2$が示された.

次に,

\begin{align}
(X_i – X_j)^2 &= {X_i}^2 – 2X_i X_j + {X_j}^2\Lnl
\sum_{j=1}^n (X_i – X_j)^2 &= n{X_i}^2 – 2n X_i \overline{X}_n + \sum_{j=1}^n {X_j}^2 \Lnl
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (X_i – X_j)^2 &= n\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – 2n^2 \overline{X}_n^2 + n\sum_{j=1}^n {X_j}^2 \lnl
&= 2n\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – 2n^2 \overline{X}_n^2 \lnl
\end{align}

よって両辺を$2n^2$で割って,
\begin{align}
{S_n}^2 = \frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (X_i – X_j)^2
\end{align}

となる.