ex6.2.1 指数分布のパラメータの逆数のUMVUEおよび有効推定量

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.2.1

パラメータ$\beta$の指数分布の確率密度関数$f_X(x)$は,

\begin{align}
f_X(x) &= \beta \exp(-\beta x)\\
&=\exp(-\beta x + \log \beta)
\end{align}

である.ここで,
\begin{align}
\begin{cases}h(x) &= 1\\
c(\beta) &= \beta\\
T(x) &= x\\
d(\beta) &= \log \beta\end{cases}
\end{align}

とおくと,
\begin{align}
f_X(x) = h(x) \exp(c(\beta)T(x) + d(\beta)
\end{align}

となるため,指数分布は指数型分布族である.
従って,
\begin{align}
S(\bm{X}) = \sum_{i=1}^n T(x_i) = \sum_{i=1}^n x_i
\end{align}

は完備十分統計量である.
レーマン・シェフェの定理より,$S(\bm{X})$の関数となっている$\cfrac{1}{\beta}$の不偏推定量がUMVUEである.
ところで,
\begin{align}
E(S(\bm{X})) &= nE(X) = \frac{n}{\beta}
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\frac{S(\bm{X})}{n} &= \bar{X}
\end{align}

が$\cfrac{1}{\beta}$のUMVUEとなる.

次に$V(\bar{X})$を求める.パラメータ$\beta$の指数分布の分散が$\cfrac{1}{\beta^2}$であることを利用すると,

\begin{align}
V(\bar{X}) &= V\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)\lnl
&=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n V(X_i)\lnl
&=\frac{1}{n\beta^2}
\end{align}

次に$\bar{X}$が$\cfrac{1}{\beta}$の有効推定量であることを示す.$\alpha = \cfrac{1}{\beta}$とおくと,尤度関数は,
\begin{align}
L(\alpha) = \prod_{i=1}^n f_X(x_i;\alpha) = \left(\frac{1}{\alpha}\right)^n \exp\left(-\frac{1}{\alpha}\sum_{i=1}^n x_i\right)
\end{align}

となる.続けてフィッシャー情報量$I_n$を求めると,
\begin{align}
\log L(\alpha) &= -n \log \alpha – \frac{1}{\alpha} \sum_{i=1}^n x_i\Lnl
\frac{\partial}{\partial \alpha} \log L(\alpha)&=-\frac{n}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2}\sum_{i=1}^n x_i\Lnl
\frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} \log L(\alpha)&=\frac{n}{\alpha^2} – \frac{2}{\alpha^3}\sum_{i=1}^n x_i\Lnl
I_n(\alpha) &= -E\left(\frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} \log L(\alpha)\right)\lnl
&= -\frac{n}{\alpha^2} + \frac{2}{\alpha^3}\cdot n\alpha \lnl
&= \frac{n}{\alpha^2} \lnl
&= n\beta^2
\end{align}

以上より,クラメール・ラオの下限は
\begin{align}
\frac{1}{I_n} &= \frac{1}{n\beta^2}
\end{align}

となり$V(\bar{X})$と等しいので,$\bar{X}$は$\cfrac{1}{\beta}$の有効推定量である.