ex6.5.8 色々な条件下の正規分布の平均の信頼区間

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.8

ランダム標本の標本平均$\overline{X}$は$\mathrm{N}\left(\mu,\cfrac{100}{n}\right)$に従うから,

\begin{align}
\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{100}} \sim \mathrm{N}(0,1)
\end{align}

となる.$z_\frac{\alpha}{2}$を単に$z$と表すことにすると, $\mu$の$100(1-\alpha)$%信頼区間は,
\begin{align}
&\left[ \overline{X} – \sqrt{\frac{100}{n}} z , \overline{X} + \sqrt{\frac{100}{n}} z\right]\lnl
\Longleftrightarrow &\left[ 15 – \frac{10}{\sqrt{n}} z , 15 + \frac{10}{\sqrt{n}} z\right]
\end{align}

となる.

(i)

テキスト巻末のT.1より$z = 1.96$である.

$n=25$のとき

\begin{align}
\left[ 15 – \frac{10}{\sqrt{25}} 1.96 , 15 + \frac{10}{\sqrt{25}} 1.96\right] = [11.08,18.92]
\end{align}

$n=64$のとき

\begin{align}
\left[ 15 – \frac{10}{\sqrt{64}} 1.96 , 15 + \frac{10}{\sqrt{64}} 1.96\right] = [12.55,17.45]
\end{align}

$n=100$のとき

\begin{align}
\left[ 15 – \frac{10}{\sqrt{100}} 1.96 , 15 + \frac{10}{\sqrt{100}} 1.96\right] = [13.04,16.96]
\end{align}

$n=400$のとき

\begin{align}
\left[ 15 – \frac{10}{\sqrt{400}} 1.96 , 15 + \frac{10}{\sqrt{400}} 1.96\right] = [14.02,15.98]
\end{align}

(ii)

$n=25$なので,信頼区間は

\begin{align}
\left[ 15 – \frac{10}{\sqrt{25}} z , 15 + \frac{10}{\sqrt{25}} z\right] =\left[ 15 -2z , 15 + 2z\right]
\end{align}

となる.
$\alpha$が与えられたときの$z=z_\frac{\alpha}{2}$の求め方は, $\Phi(z) = 1 – \cfrac{\alpha}{2}$を求めたのちにテキスト巻末T.1より該当の$z$を探せばよい.

$1-\alpha=0.668$のとき

\begin{align}
1-\alpha=0.668 \Leftrightarrow \alpha = 0.332 \Leftrightarrow \Phi(z) = 1-0.332/2 \Leftrightarrow z = 0.97
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\left[ 15 – 2\cdot 0.97 , 15 + 2\cdot 0.97\right] = [13.06,16.94]
\end{align}

$1-\alpha=0.874$のとき

\begin{align}
1-\alpha=0.874 \Leftrightarrow \alpha = 0.126 \Leftrightarrow \Phi(z) = 1-0.126/2 \Leftrightarrow z = 1.53
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\left[ 15 – 2\cdot 1.53 , 15 + 2\cdot 1.53\right] = [11.94,18.06]
\end{align}

$1-\alpha=0.90$のとき

\begin{align}
1-\alpha=0.90 \Leftrightarrow \alpha = 0.10 \Leftrightarrow \Phi(z) = 1-0.10/2 \Leftrightarrow z = 1.645
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\left[ 15 – 2\cdot 1.645 , 15 + 2\cdot 1.645\right] = [11.71,18.29]
\end{align}

$1-\alpha=0.99$のとき

\begin{align}
1-\alpha=0.99 \Leftrightarrow \alpha = 0.01 \Leftrightarrow \Phi(z) = 1-0.01/2 \Leftrightarrow z = 2.575
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\left[ 15 – 2\cdot 2.575 , 15 + 2\cdot 2.575\right] = [9.85,20.15]
\end{align}